2. Travaux mathématiques
Les deux premiers volumes du « Journal de Liouville » (1836-1837) contiennent six mémoires, les uns de Liouville, les autres de son ami C. Sturm, sur le problème qui porte aujourd'hui leurs deux noms (cf. équations différentielles, chap. 3) : Étant donné les fonctions p et q continues positives sur l'intervalle [a, b], pour quelles valeurs du paramètre réel λ l'équation différentielle linéaire homogène :
En arithmétique, Liouville publia énormément : sur les fonctions d'un entier n liées aux diviseurs de n, sur les décompositions de n en sommes de carrés ; sur les nombres premiers congrus à p modulo q. Mais son nom reste attaché à une courte note du 20 mai 1844 aux comptes rendus de l'Académie des sciences, où il démontre ce théorème : Si l'irrationnel x est racine d'une équation algébrique de degré n, il existe une constante A(x) telle que :
L'autre théorème de Liouville, celui des analystes, dit qu'une fonction entière de la variable complexe z, ou la somme d'une série entière convergente quel que soit z, ne peut être bornée sur tout le plan sans être constante. Liouville l'établit d […]
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