INVARIANT, mathématique

À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax² + 2bxy + cy² + 2ux + 2vy + w = 0. Comment reconnaître sur leurs coefficients a, b, c, u, v, w et a', b', c', u', v', w' si deux telles équations représentent la même conique dans deux repères orthonormés ? Il revient d'ailleurs au même que les deux coniques définies, dans un même repère, par ces deux équations se déduisent l'une de l'autre par une transformation isométrique. On introduit les fonctions suivantes des coefficients, appelées invariants fondamentaux : w(ac – b²) – v(va – ub) + (vb – uc) ; ac – b² ; a + c. Ces fonctions prennent la même valeur pour deux équations déduites l'une de l'autre par une isométrie : on dit qu'elles sont invariantes par le groupe des isométries du plan. De plus, si on exclut le cas d'une conique dégénérée en deux droites parallèles, deux coniques qui ont les mêmes invariants fondamentaux sont isométriques.

On trouve là un exemple de la notion abstraite très générale d'invariance par une application f d'un ensemble E dans lui-même : on dit qu'une partie X de E est invariante par f lorsque f(X) est inclus dans X. Si f(x) = x on dit que x est un point fixe de f. La façon dont l'exemple entre dans ce cadre est un peu cachée : il faut prendre pour E, non pas l'ensemble des équations de coniques, mais l'ensemble des fonctions de leurs coefficients. Soit G un sous-groupe du groupe des permutations de E (bijections de E sur lui-même) ; la loi de groupe est bien entendu la composition des applications. Les éléments de G qui laissent X invariante forment un sous-groupe de G, parfois appelé groupe des symétries de X, par extension de la notion de symétrie en géométrie euclidienne usuelle. Par exemple, un triangle quelconque n'est invariant par aucune isométrie du plan euclidien autre que l'application identique, alors que l […]