4. L'intégrale comme forme linéaire
Le fait que l'intégrale est une forme linéaire sur un espace vectoriel de fonctions est si fondamental qu'il peut en constituer une définition ; cependant cette importance n'était pas encore perçue au moment où Lebesgue créait son intégrale. Un des résultats qui contribua le plus à dégager le rôle de cette notion fut le théorème de F. Riesz, déjà cité, sur l'identité entre les intégrales de Stieltjes des fonctions continues réelles définies sur un segment [a, b] et les formes linéaires continues sur l'espace de Banach que constituent ces fonctions. Les idées de Riesz furent étendues par J. Radon, dont le nom est désormais associé aux formes linéaires continues sur l'espace V des fonctions continues à support compact définies sur un espace localement compact X, l'espace V étant muni de la topologie de la convergence compacte ; l'hypothèse de continuité que l'on impose ici à une forme linéaire m sur V s'exprime par le fait que, pour tout compact K de X, il existe une constante M(K) telle que :
Un autre pas en direction de la linéarisation fut accompli par l'Américain P. J. Daniell, qui exposa une théorie de l'intégration comme méthode de prolongement d'une forme linéaire positive présentant une « continuité » convenable.
Une théorie de l'intégration est d'abord l'étude du prolongement d'une forme linéaire, continue en un certain sens, sur un espace vectoriel de fonction à un espace vectoriel plus vaste. Le cœur de la question est que cet espace plus vaste se présente naturellement sous deux formes différentes – comme complété d'un espace v […]
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