2. Linéarisation et intégrale de Riemann
Soit (X, A, m) un espace mesuré. À chaque élément A de A, associons sa fonction caractéristique ϕA et considérons les combinaisons linéaires à coefficients réels de ces fonctions caractéristiques : on obtient des fonctions dites étagées (relativement à A) et leur ensemble V a une structure naturelle d'espace vectoriel réticulé. Si ϕ et ψ en sont deux éléments de V, sup(ϕ, ψ) et inf(ϕ, ψ) appartiennent aussi à V.
On peut alors associer à m une forme linéaire I sur V, en posant :
On peut alors poser un problème d'extension de la forme I à un espace vectoriel contenant V. Le procédé classique de l'intégration de Riemann est l'analogue du procédé d'Eudoxe pour l'extension des mesures et peut être ainsi décrit. On considère les fonctions f définies sur X à valeurs dans R, qui ont la propriété d'être bornées et de s'annuler hors d'un ensemble Af ∈ A. On peut encadrer f par des fonctions étagées ϕ et ψ telles que ϕ < f < ψ. On a donc :
Tel est l'essentiel de l'intégration au sens de Riemann. Remarquons que, partant de […]
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