3. Cantor et le « transfini »
• Les ensembles infinis de Dedekind
En 1870, Georg Cantor commence sa carrière mathématique en s'attaquant, après B. Riemann et H. Hankel, à l'étude des critères de convergence des séries de Fourier. Depuis longtemps déjà, l'infini mathématique avait cessé d'être une source d'inquiétudes métaphysiques : A. Cauchy, B. Bolzano et K. Weierstrass l'avaient pour ainsi dire réduit à l'état domestique. Le pas décisif avait été accompli ici par Weierstrass. En arithmétisant (pour les besoins de la théorie des fonctions analytiques) le champ de l'analyse, ce dernier avait produit, en dehors de tout appel à l'intuition géométrique, le système d'objets sur lequel pouvaient être définis rigoureusement les concepts de suite infinie, de limite et de convergence : le système des nombres réels. Dans ce système, archimédien, le concept inquiétant de « grandeur infinitésimale » était éliminé. Par là se trouvaient justifiées les précautions formulées jadis par d'Alembert et Lagrange, mais aussi les méthodes pratiquées par Cauchy dans sa recherche de stricts critères de convergence. L'essentiel tenait ici au sens qu'avait pris, dans la pratique mathématique de Weierstrass, l'expression « rigoureusement ». Le système avait été produit en une suite d'enchaînements démonstratifs, obtenus par extension et complétion à partir du seul concept de nombre entier et organisés en un système déductif cohérent. Ainsi le prédicat « infini » subissait un nouveau déplacement. Il n'était plus importé dans les mathématiques. Il exigeait au contraire d'être défini dans les formes requises par l'appareil logique mis en œuvre et d'être saisi lui-même comme prédicat spécifique du champ d'objets que l'extension produisait. Sur ce point, un éclaircissement capital devait être apporté par R. Dedekind, lorsque, au début de la décennie 1870, il avait proposé, comme définition des ensembles infinis, la propriété qui, d'après Bolzano, constituait un des paradoxes de l'infini : la possibilité d'établir une correspondance biunivoque entre les éléments d'un ensemble et ceux de l'un de ses vrais sous-ensembles (cf. Richard Dedekind). Défi […]
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