Le mot « infini » désigne un concept à entrées multiples. Il s'ouvre d'abord sur l'ontologie et signifie alors, selon la tradition, « l'être tel qu'on n'en saurait concevoir de plus grand » (« ens quo majus concipi non potest »). Ce fut pour une grande part l'effort de la théologie chrétienne de tenter de montrer, à partir d'un certain moment (saint Anselme), que cet attribut convenait d'une manière adéquate et exclusive au Dieu, objet de la foi, révélé dans l'Écriture. Envisagé de l'autre bord de son champ sémantique, le même mot signifie cependant tout autre chose. On a reconnu très tôt, ainsi qu'en témoignent les fameux arguments de Zénon d'Élée, qu'un segment de droite est divisible « à l'infini ». Ici, l'expression « infini » ne désigne nullement un être, mais la simple possibilité de poursuivre un processus opératoire qui, en raison du domaine où il s'effectue et des lois qui le règlent, ne contient en lui-même aucun principe de limitation.
Le concept d'infini mathématique (dont on ne peut pas dire qu'il soit pleinement constitué avant G. Cantor) a été historiquement, et avec des fortunes diverses, élaboré entre ces deux bornes : la borne métaphysique d'une part, qui indiquait la portée maximale du concept ; la borne opératoire de l'autre, qui manifestait les contraintes auxquelles se heurtait sa constitution. On pourrait dire que la formation du concept d'infini mathématique a consisté à dégager ces contraintes, à les distinguer, à les classer, et à produire les moyens mathématiquement bien définis de nature à les dominer.
Au cours de ce mouvement, le concept d'infini mathématique a conquis son autonomie : il s'est séparé du concept ontologique, qui s'est alors trouvé renvoyé à un autre champ que celui des mathématiques, bien que sur certains points l'homogénéité du vocabulaire puisse encore prêter à confusion.
À prendre les choses en bloc, on pourra dans cette histoire marquer trois moments. La première phase, purement opératoire, se distingue par trois caractères : l'absence d'un concept posi […]
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