4. Les fragments Hk
En considérant des ensembles de taille de plus en plus grande, on obtient une suite naturelle de fragments. On notera H0 le fragment constitué des ensembles héréditairement finis, c'est-à-dire finis et dont les éléments, les éléments des éléments, etc., sont finis. De même, on notera H1 le fragment des ensembles héréditairement dénombrables ou héréditairement finis, puis Hk celui des ensembles héréditairement de cardinal moindre que ℵk, le k-ième cardinal infini de Cantor.
Rappelons que le cardinal d'un ensemble est le nombre de ses éléments : dans le cas des ensembles finis, c'est un nombre entier naturel ; dans le cas des ensembles infinis, Cantor a construit des objets jouant le même rôle, appelés nombres transfinis, et organisés en une chaîne croissante ; le plus petit des nombres transfinis, noté ℵ0 (lu « aleph zéro »), correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels ℕ ; puis, correspondant à des ensembles de plus en plus grands, viennent ℵ1, ℵ2, et ainsi de suite. Le problème du continu est de savoir si la cardinalité de l'ensemble des nombres réels est ℵ1, c'est-à-dire si c'est le premier nombre transfini après ℵ0.
Il se trouve qu'en un sens précis l'arithmétique des nombres entiers naturels, autrement dit la structure (ℕ, +, ×), est équivalente à H0, et, par conséquent, ZFC est une solution pour H0.
Dans une large mesure, l'étude du fragment H1, notamment la recherche de solutions, a été la tâche principale de la théorie des ensembles jusqu'à la démonstration du théorème de Martin et Steel en 1985. La conclusion est l'existence d'une solution canonique, à savoir le système obtenu en ajoutant à ZFC l'axiome de détermination projective DP : avec ZFC+DP, on retrouve pour H1 la situation obtenue avec ZFC pour H0, à savoir complétude empirique et invariance par forcing.
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