6. Groupes de Lie
Les techniques de la relativité (calcul tensoriel, recherche d'invariants), tout autant que le problème de l'espace, devaient conduire Weyl à l'étude des groupes de Lie classiques et de leurs représentations. Les mémoires sur ce sujet publiés de 1925 à 1927 constituent l'œuvre mathématique majeure de Weyl. Ces résultats sont exposés dans le chapitre 6 de l'article groupes - Groupes de Lie. On se contentera ici d'indiquer le contenu des quatre parties du grand mémoire de 1925-1926 intitulé Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen : complète réductibilité du groupe spécial linéaire SL(n, C) ; calcul explicite des caractères et des représentations simples de ce groupe ; extensions aux groupes orthogonaux et symplectiques, puis aux groupes semi-simples généraux.
On doit aussi à Weyl la notion d'algèbre de groupe d'un groupe de Lie compact, c'est-à-dire l'algèbre pour le produit de convolution des fonctions intégrables sur le groupe pour la mesure invariante, qu'il applique à l'étude des coefficients des représentations ; après la découverte par A. Haar en 1931, sur tout groupe localement compact, de la mesure qui porte son nom, les techniques de Weyl allaient se transposer sans difficultés et constituer le point de départ de l'analyse harmonique abstraite (cf. analyse harmonique, chap. 4).
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