5. Relativité et géométrie différentielle
Comme on l'a déjà souligné, l'œuvre de Weyl se caractérise par sa diversité et son passage imprévu d'une branche de la science à une autre. En 1916, il publie un article consacré au célèbre problème de la rigidité des corps convexes, déjà étudié par A.-L. Cauchy puis par D. Hilbert. Weyl pose le problème sous une forme plus générale grâce à la notion de variété abstraite et donne un très ingénieux canevas de la démonstration du résultat suivant : Toute variété riemannienne abstraite compacte, simplement connexe, de dimension 2 et de courbure positive en tout point, est plongeable isométriquement dans l'espace euclidien R3, de manière unique à isométrie près ; cette démonstration a été complétée ultérieurement par L. Nirenberg.
Pendant l'année 1913, Weyl avait été, à l'Institut de technologie de Zurich, le collègue d'Einstein, qui venait de découvrir la relativité générale ; depuis cette date, Weyl n'avait cessé de s'intéresser à la relativité et, dès sa démobilisation en 1916, il fait une série de conférences sur ce sujet dans cette même ville de Zurich qu'Einstein avait quittée pour Berlin. C'est l'origine de son célèbre livre Raum-Zeit-Materie, paru en 1918, qui connut cinq éditions progressivement augmentées pour aboutir au grand traité de 1923. Dès la troisième édition se trouve exposée la « théorie unitaire » de Weyl, tentative pour présenter dans un même cadre mathématique unificateur la gravitation et l'électromagnétisme ; il s'agit de l'étude de ce que l'on appellerait aujourd'hui une connexion linéaire liée au groupe des similitudes, conservant à un facteur constant près une forme quadratique de signature (1, 3). Bien que cette théorie n'ait pas eu un succès durable en physique, elle a amené Weyl à développer de nombreuses techniques de géométrie riemannienne qui ont annoncé les recherches de Veblen sur la géométrie différentielle projective et celles de Cartan sur les « espaces généralisés ».
Enfin, ce sont toujours des préoccupations relativistes, à savoir la recherche d'une justification profonde de l'emploi d'une variété riemannienne comme modèle physique de l'Univers, qui ont amené Weyl à reprendre, dans une série d'articles, le « problème de l'espace » déjà étudié par Sophus Lie (cf. l'article lie).
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