4. Répartition modulo 1
En 1916, Weyl publie un mémoire d'arithmétique qui allait se révéler lié à des questions d'analyse harmonique : étude des sommes d'exponentielles et fonctions presque périodiques.
Une suite x = (xn) de nombres réels est dite également répartie modulo 1 (cf. approximations diophantiennes, chap. 6) si, pour tout intervalle [a, b] contenu dans [0, 1], le nombre de termes xk de la suite dont les parties fractionnaires sont dans [a, b] et tels que k ≤ n est asymptotiquement équivalent à (b − a)n ; cela signifie intuitivement que le nombre de termes de la suite dont la partie fractionnaire est dans [a, b] est « asymptotiquement proportionnel à la longueur de l'intervalle [a, b] ». Weyl montre que cela équivaut à dire que, pour tout entier relatif k non nul, la moyenne arithmétique :
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