3. Les fondements « géométriques » de la théorie des fonctions
La première édition du livre de Weyl Die Idee der Riemannschen Fläche paraît en 1913. Citons de nouveau Chevalley et Weil : « C'est en élève de Hilbert encore, et en analyste, que Weyl dut aborder le sujet d'un des premiers cours qu'il professa à Göttingen comme jeune privatdozent, la théorie des fonctions selon Riemann. Le cours terminé et rédigé, il se retrouva géomètre et auteur d'un livre qui devait exercer une profonde influence sur la pensée mathématique de son temps. »
F. Klein avait généralisé la notion de surface de Riemann mais n'avait pu, en l'absence de concepts topologiques, dépasser le stade des considérations intuitives. S'inspirant d'articles de L. Brouwer (eux-mêmes inspirés par Poincaré), Weyl définit, dans la tradition axiomatique de Hilbert, la notion abstraite de variété complexe de dimension 1 et donne la première théorie rigoureuse de l'orientation, de l'homologie et de l'homotopie sur une telle surface. On lui doit sous sa forme définitive le théorème d'uniformisation qui affirme que le recouvrement universel d'une surface de Riemann (connexe) est représentable conformément sur la sphère de Riemann, le plan complexe ou le disque unité de ce plan, qui sont donc les trois seuls types de surfaces de Riemann connexes et simplement connexes (cf. fonctions analytiques - Représentantion conforme, chap. 3).
Le livre de Weyl pose les fondements géométriques de la théorie des fonctions algébriques d'une variable complexe et la notion de variété qui y est définie pour la première fois a eu le succès que l'on sait. La troisième édition, datée de 1955, est en fait un ouvrage entièrement nouveau dans lequel l'auteur reprend, très épuré et simplifié, l'exposé de 1913.
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