3. Classification des fonctions
René Baire, en répétant des passages à la limite indéfiniment et même transfiniment, avait discerné des propriétés que Lebesgue nomme « qualitatives », pour les distinguer des propriétés numériques, qui établissent une hiérarchie dans une très vaste famille de fonctions dites « fonctions de Baire ». D'autres familles de fonctions, rebelles à l'intégrale de Riemann, peuvent être envisagées grâce à la mesure et à l'intégrale de Lebesgue : elles ne seront régulières que « presque partout », c'est-à-dire à l'exception d'un ensemble de mesure nulle.
Lebesgue nomme mesurables les fonctions f telles que le domaine défini par a < x < b, 0 < y < f (x) a une mesure : ce sont non seulement les fonctions intégrales de Riemann, mais aussi toutes les fonctions de Baire. Si les sommes introduites sont celles (3) de l'intégrale de Lebesgue, la fonction est dite sommable. En langage moderne, elles sont caractérisées par la condition : l'image réciproque par f de tout intervalle est un ensemble mesurable.
Lebesgue montra immédiatement la fécondité de ses conceptions par les théorèmes fondamentaux de passage à la limite : Toute suite convergente de fonctions sommables inférieures à une fonction sommable a une limite sommable et est intégrable terme à terme.
Les théorèmes précédents permettent à Lebesgue de préciser la liaison entre intégrales et primitives, car la dérivée g′(x) considérée comme limite de :
Des travaux de Baire il résulte que, dans tout intervalle, il en existe un où la formule s'applique. Pour obtenir F il fallait donc « raccorder les morceaux ». Ce fut l'œuvre, en particulier, d […]
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