2. L'intégrale et la mesure de Lebesgue
Les sommes de Riemann (1), valables pour les fonctions continues, ne conviennent qu'à des classes particulières de fonctions discontinues parce qu'elles font appel à la condition de continuité : f (x) varie peu dans l'intervalle (xi, xi+1). Lebesgue a l'idée de retourner la situation : « Nous voulons grouper des valeurs voisines de f (x) ? Faisons-le ! » Si la fonction f est bornée, c'est l'intervalle (m, M) des bornes qu'on doit partager en petits intervalles (yi, yi+1) et l'on groupera les valeurs de x qui assurent yi < f (x) < yi+1. Elles constituent un ensemble auquel il faudra attacher une mesure mi. Les sommes à considérer seront ainsi :
Lebesgue justifie cette définition constructive de l'intégrale, présentée ici sous une forme particulière, par son équivalence avec une définition descriptive basée sur les caractères attribués à une mesure. L'important est qu'il est fait appel à l'additivité complète.
Les chapitres de géométrie classique concernant les aires et volumes de polygones ou polyèdres ont toujours utilisé implicitement des conditions dont la plus essentielle est l'additivité : la réunion d'ensembles disjoints a pour mesure la somme de leurs mesures. Émile Borel, le premier, a formulé explicitement une définition en précisant que la propriété s'applique à une infinité dénombrable d'intervalles : c'est l'additivité complète. La définition concerne donc les classes d'ensembles, dits maintenant « boréliens ». Elle introduit la notion d'ensemble infini de mesure nulle.
Partant de cette définition descriptive, Lebesgue formule une définition constructive. Ainsi, pour un ensemble E plan inclus dans un carré C de mesure c, il considère un recouvrement par des carrés disjoints en infinité dénombrable et nomme mesure extérieure me (E) de E la borne i […]
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