1. Groupes de permutations
Historiquement la théorie des groupes finis commença avec l'étude des groupes symétriques et de leurs sous-groupes, les groupes de permutations. Soit E un ensemble fini formé des n éléments e1, ..., en, n ≥ 1. Une permutation π des éléments e1, ..., en (ou encore une permutation π sur E) est une application x ↦ π(x) de E dans E, telle que chaque élément y de E soit l'image y = π(x) d'un élément unique x de E. L'application π-1, envoyant chaque élément y sur l'élément x tel que y = π(x), est alors aussi une permutation sur E, qui s'appelle l'inverse de π. Le produit πρ de deux permutations π, ρ sur E est la permutation de e1, ..., en définie par : πρ(x) = π(ρ(x)), pour tout x dans E. Avec ces définitions de l'inversion et de la multiplication, l'ensemble des permutations sur E forme un groupe fini Σ(E), le groupe symétrique de E. Son élément neutre est la permutation identité 1 = 1E sur E, qui envoie chaque x = e1, ..., en sur lui-même : 1E(x) = x.
Le groupe symétrique Σ(E) est déterminé à un isomorphisme près par le nombre n = |E| d'éléments de E ; et on l'appelle souvent le groupe symétrique Σn de degré n, sans spécifier l'ensemble E. L'ordre | Σn | du groupe Σn, c'est-à-dire le nombre de ses éléments, est n ! = 1.2... (n − 1).n.
On peut représenter une permutation π de e1, ..., en graphiquement par un tableau formé des éléments e1, ..., en et de flèches. Chaque flèche joint un élément x = e1, ..., en à son image y = π(x). Par exemple, si π est la permutation des éléments a, b, c, d, définie par π(a […]
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