9. Généralisations
On constate que les groupes semi-simples complexes sont des groupes linéaires algébriques, c'est-à-dire des sous-groupes G de groupes linéaires GL(n, C), définis par des équations algébriques entre les éléments des matrices de G. On sait d'autre part que les groupes classiques peuvent être aussi définis pour un corps de base K quelconque au lieu du corps C. On est donc conduit à se demander s'il n'existe pas une « théorie de Lie » pour les groupes linéaires sur un corps quelconque K et, comme ici il n'y a plus de notions topologiques, on les remplace par la restriction que les groupes considérés sont algébriques au sens ci-dessus.
On peut alors développer toute une théorie dont les résultats (mais non les méthodes) se calquent sur ceux de la théorie des groupes de Lie (Borel-Chevalley). On définit une notion (algébrique) de « connexion » et des notions telles que celle de radical, de groupe semi-simple ou de sous-groupe de Borel d'un groupe algébrique exactement comme pour les groupes de Lie. Le résultat le plus remarquable est que, lorsque le corps de base K est algébriquement clos (mais de caractéristique quelconque), les groupes semi-simples sont encore donnés par la classification de Killing-Cartan. Il n'y a plus ici de méthode « infinitésimale » à proprement parler, bien qu'on puisse encore définir une algèbre de Lie g (et même une algèbre associative G) associée à un groupe linéaire algébrique G ; mais son utilité est bien moindre que dans la théorie classique. Les raisonnements essentiels sont de nature globale et reposent sur le fait que, pour un sous-groupe de Borel B de G, le quotient G/B est encore muni d'une structure de variété algébrique projective. En outre, on étend encore à ce cas la décomposition de Bruhat (cf. chap. 7), qui joue également un rôle important dans les démonstrations.
Aux groupes linéaires algébriques définis sur le corps des rationnels Q est maintenant rattachée la théorie des groupes arithmétiques : si G est un sous-groupe algébrique de GL(n, Q), on dit qu'un sous-g […]
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