7. Algèbres semi-simples complexes et leurs formes réelles
Dans le chapitre 6, en partant de l'algèbre de Lie d'un groupe semi-simple compact, on a obtenu, en la complexifiant, une algèbre de Lie semi-simple complexe. Ce processus admet une réciproque, qui établit une correspondance biunivoque entre groupes connexes semi-simples complexes et groupes connexes semi-simples compacts.
L'unique méthode connue pour établir ce fait est due à Killing et É. Cartan, et est fort longue : on commence par démontrer, dans une algèbre semi-simple complexe g de dimension n sur C, l'existence d'une sous-algèbre commutative maximale h (sous-algèbre de Cartan) telle que la relation ad(X)(h) ⊂ h entraîne X ∈ h. En étudiant la représentation adjointe H ↦ ad(H) de h dans l'espace vectoriel g, on arrive alors à décomposer g en somme directe de h et de sous-espaces CXα de dimension 1, où les Xα vérifient les relations (13) à (16). On voit aisément que l'espace vectoriel réel u engendré par les iHα, les Xα − X−α et les i(Xα + X−α) est une algèbre de Lie réelle dans laquelle la forme de Killing est négative non dégénérée ; donc u est l'algèbre de Lie d'un groupe compact semi-simple U, et g = u ⊕ iu. Les iHα engendrent une sous-algèbre (réelle) commutative maximale t de u (correspondant à un tore maximal T de U), et on a h = t ⊕ it.
Si l'on choisit une base (αj), avec 1 ≤ j ≤ m, du système des racines de g, la sous-algèbre (complexe) n+ (resp. n-) de g ayant pour base les Xα pour α > 0 (resp. α < 0) est une sous-algèbre nilpotente ; on a :
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