6. Algèbres de Lie semi-simples
La notion d'algèbre de Lie résoluble (resp. nilpotente) se définit comme pour les groupes, en remplaçant les groupes Dr(G) (resp. Cr(G)) par les idéaux formés de la façon correspondante dans l'algèbre de Lie g. Si G est un groupe de Lie simplement connexe, R son radical, le plus grand idéal résoluble r de l'algèbre de Lie g de G est l'algèbre de Lie de R, et on l'appelle le radical de g. Une algèbre de Lie g est dite semi-simple si son radical est réduit à {0} (ou, ce qui revient au même, si elle ne contient pas d'idéal commutatif non réduit à {0}. Un groupe de Lie connexe est semi-simple si et seulement si son algèbre de Lie est semi-simple.
On définit d'autre part sur toute algèbre de Lie réelle (resp. complexe) g une forme bilinéaire symétrique réelle (resp. complexe) dite forme de Killing, par la formule :
Cette forme est étroitement liée à la structure de g par les trois critères de Cartan :
– Pour que g soit résoluble, il faut et il suffit que (X|Y) = 0 pour X ∈ g et Y ∈ [g, g].
– Pour que g soit semi-simple, il faut et il suffit que la forme de Killing soit non dégénérée.
– Pour qu'une algèbre de Lie réelle g soit l'algèbre de Lie d'un groupe compact, il faut et il suffit que (X|X) ≤ 0 dans g.
On peut parvenir à la détermination de la structure d'un groupe compact semi-simple G, en analysant sa représentation adjointe. Il est commode de commencer par étendre canoniquement chaque endomorphisme Ad(s) (pour s ∈ G) de l'algèbre de Lie g à un endomorphisme de sa complexifiée gc = g ⊗R C, de sorte qu'on peut considérer G comme opérant par s ↦ Ad(s) soit sur g, soit sur gc. L'idée fondamentale est de restreindre la représentation adjointe à un tore maximal T de G ; comme T est compact et commutatif et que la forme de Killing est invariante par tout automorphisme de g et négative non dégénérée, cette représentation est complètement réductible, donc g se décompose en somme direc […]
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