5. Algèbres de Lie
L'outil essentiel dans la démonstration des remarquables résultats qui précèdent est la méthode infinitésimale, inaugurée par S. Lie (1842-1899), qui a pour effet de ramener l'étude des groupes de Lie à l'étude de ce qu'on appelle leurs algèbres de Lie. L'idée est d'étudier les conditions qu'impose l'associativité de la loi d'un groupe G aux séries qui l'expriment dans un voisinage V de e. On suppose choisi un système de coordonnées locales qui s'annulent en e, de sorte que V est identifié à un voisinage de l'origine dans Rn. Soit W un voisinage de 0 tel que W2 ⊂ V, et x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) deux points de W ; leur produit z = xy ∈ V étant fonction analytique de x, y par hypothèse, les coordonnées z1, ..., zn de z s'expriment par des séries convergentes pour |xj| < ρ, |yj| < ρ, 1 ≤ j ≤ n :
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