4. Représentations linéaires de dimension finie des groupes de Lie
Les définitions sont données à l'article précédent, qui traite de la représentation linéaire des groupes ; on se bornera aux représentations linéaires dans des espaces vectoriels V (de dimension finie dans ce chapitre) sur le corps C des nombres complexes ; en outre, les représentations linéaires ρ : G → GL(V) d'un groupe de Lie que l'on considère sont supposées analytiques (réelles).
Lorsque le groupe de Lie G est connexe et résoluble, toute représentation irréductible de G est de dimension 1, autrement dit de la forme s ↦ χ(s), où χ est un caractère (abélien) du groupe commutatif G/D(G) ; une représentation quelconque de G s'écrit toujours sous la forme triangulaire :
L'exemple de la représentation linéaire :
En revanche, toute représentation linéaire d'un groupe de Lie G compact ou réductif (c'est-à-dire dont le revêtement universel est produit d'un groupe semi-simple et d'un Rn) est complètement réductible (théorème de H. Weyl) ; pour les groupes compacts, c'est même vrai sans supposer que G est un groupe de Lie. Tout revient donc à déterminer, dans ces cas, les représentations irréductibles ; cette détermination a été complètement effectuée par É. Cartan au moyen de techniques qui seront esquissées dans le chapitre 6.
La théorie des représentations linéaires des groupes semi-simples généralise la théorie classique des invariants en géométrie projective. Il s'agissait uniquement, dans cette théorie, des représentations des groupes classiques, et surtout de SL(V). Ce groupe opère en effet naturellement dans toute puissance tensorielle V⊗n, et dans le sous-espace des tenseur […]
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