3. Actions des groupes de Lie
Les groupes de Lie ont d'abord été étudiés en tant que groupes de transformations de certains espaces, plutôt que pour eux-mêmes ; et, dans la théorie moderne, les diverses façons dont un groupe de Lie peut être considéré comme groupe de transformations jouent encore un grand rôle. Les actions ou opérations d'un groupe de Lie se définissent comme pour les groupes quelconques (cf. groupes [mathématiques] – Représentation linéaire des groupes), mais on n'envisage d'ordinaire que des actions d'un groupe de Lie G sur une variété analytique X, et on exige que l'application (s, x) ↦ s . x de G × X dans X soit analytique. Pour tout s ∈ G, l'application x ↦ s . x est alors un isomorphisme de la variété X sur elle-même ; pour tout x ∈ X, l'ensemble Sx des s ∈ G tels que s . x = x est un sous-groupe fermé de G appelé stabilisateur de x. L' orbite G . x de x est l'ensemble des s . x pour s ∈ G ; les orbites sont les classes d'équivalence d'une relation d'équivalence R dans G ; elles ne sont pas nécessairement fermées dans X et peuvent être en fait des ensembles très compliqués. Leur étude générale n'a guère été poussée que pour G = R ou G = Z.
L'ensemble X/G des orbites ne peut en général être muni d'une structure de variété analytique telle que l'application canonique π : X → X/G (qui fait correspondre à un point son orbite) soit une submersion ; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'ensemble ΓR ⊂ X × X des couples (x, y) appartenant à une même orbite soit une sous-variété fermée de X × X ; toute orbite est alors une sous-variété fermée de X.
Un cas où la variété des orbites existe toujours est celui où G est un sous-groupe fermé d'un groupe de Lie H, le groupe G opérant dans H par translation à droite (s, x) ↦ xs avec s ∈ G, x ∈ H, de sorte que les orbites sont les classes à gauche xG dans H. La variété des orbites H/G est alors appelée l'espace homogène des classes à gauche suivant G ; le groupe de Lie H opère à gauche s […]
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