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GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

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2. Groupes de Lie compacts et groupes semi-simples

Soit G un groupe de Lie connexe ; il existe alors dans G un sous-groupe compact maximal K et un nombre fini de sous-groupes fermés H₁, ..., H_p isomorphes à R, tels que l'application :

du produit :

soit un isomorphisme de la variété sous-jacente à ce produit sur la variété sous-jacente à G ; en outre, pour tout sous-groupe compact K₁ de G, il existe s ∈ G tel que :

et en particulier deux sous-groupes compacts maximaux sont conjugués. Les propriétés topologiques de G (par exemple ses groupes d'homotopie ou d'homologie, cf. topologie – Topologie algébrique) sont donc connues lorsqu'on connaît les propriétés correspondantes de K.

On peut citer deux exemples : dans SL(n, R), le groupe SO(n, R) est un sous-groupe compact maximal ; dans GL(n, C), le groupe U(n, C), aussi noté U(n), est un sous-groupe compact maximal.

Le revêtement universel d'un groupe de Lie compact K est de la forme K′ × Rⁿ, où K′ est compact, semi-simple et simplement connexe. Tout groupe compact semi-simple et simplement connexe est produit direct de sous-groupes compacts simplement connexes et simples (c'est-à-dire n'ayant pas de sous-groupe fermé distingué distinct d'eux-mêmes et de dimension strictement positive) ; leurs centres sont finis, et les sous-groupes distingués fermés d'un groupe simple sont contenus dans le centre.

Les groupes simples compacts simplement connexes sont explicitement connus (classification de Killing-É. Cartan) : il y a d'abord quatre séries infinies de groupes classiques

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Thématique

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1. Mathématiques »
2. Algèbre

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DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
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FROBENIUS GEORG FERDINAND (1849-1917): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien allemand, connu en particulier pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 26 octobre 1849 à Charlottenburg, près de Berlin (Prusse), Georg Ferdinand Frobenius était le fils d'un pasteur protestant. Après des études secondaires au lycée Joachimsthal de Berlin, il passe un semestre à l'université de Göttingen puis continue ses… Lire la suite
GALOIS ÉVARISTE (1811-1832): Écrit par : Jean-Pierre AZRA, Robert BOURGNE
Dans le chapitre "L'œuvre mathématique" : … les racines primitives de l'unité qui laisse pressentir l'utilisation par Galois de la théorie des *groupes. Si on ajoute qu'en 1830 Cauchy vient de formuler la notion de groupe de permutations d'un ensemble fini, on conçoit où en étaient les problèmes étudiés par Galois au moment où il soumet son premier mémoire à l'Académie des sciences… Lire la suite
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… 1 et lui-même, et ne peut donc être le produit d'une famille d'entiers qui ne le contiendrait pas. *Il est possible de déterminer tous les groupes monogènes : il s'agit, soit d'un groupe infini, auquel cas il est isomorphe à (ℤ, +), soit fini, de cardinal N, et isomorphe au groupe des rotations du plan dont l'angle a pour mesure un multiple de 360… Lire la suite
GÉOMÉTRIE: Écrit par : François RUSSO
Dans le chapitre "Transformations et groupes" : … en géométrie, ne fut pleinement compris que lorsque Klein leur associa la notion de *groupe (cf. groupes [mathématiques]– Groupes classiques et géométrie), introduite par Évariste Galois (1811-1832) en 1830, et diffusée seulement en 1870 par le Traité des substitutions et des équations algébriques de Camille Jordan (1838-1922). C'… Lire la suite
GROUPES DE GALOIS: Écrit par : Bernard PIRE
*L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est… Lire la suite
LIE GROUPES DE: Écrit par : Bernard PIRE
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HALL PHILIP (1904-1982): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 11 avril 1904 à Hampstead près de Londres, abandonné par son père dès sa naissance, Philip Hall passe son enfance dans un milieu pauvre et fait ses études élémentaires au Christ's Hospital de Londres. Élève brillant, il est admis au King's College de l'université de Cambridge… Lire la suite
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… *Mathématicien britannique spécialiste de la théorie des groupes né le 19 janvier 1917, mort le 8 avril 2008. Fils d'un pasteur de l'Église anglicane, Graham Higman fait des études secondaires à Plymouth, puis obtient une bourse pour étudier à l'université d'Oxford. Il y accomplit son travail de thèse en mathématiques pures sous la direction d'Henry… Lire la suite
INVARIANT, mathématique: Écrit par : Nicole BERLINE
… ) + (vb – uc) ; ac – b² ; a + c. *Ces fonctions prennent la même valeur pour deux équations déduites l'une de l'autre par une isométrie : on dit qu'elles sont invariantes par le groupe des isométries du plan. De plus, si on exclut le cas d'une conique dégénérée en deux droites… Lire la suite
KODAIRA KUNIHIKO (1915-1997): Écrit par : Jacques MEYER
… *Né à Tōkyō (Japon), Kodaira Kunihiko fit des études de mathématiques et de physique théorique à l'université de sa ville natale, où il fut ensuite professeur. En 1949, il va enseigner à l'Institute for Advanced Study, puis à l'université de Princeton. En 1954, il obtint la médaille Fields pour sa théorie des intégrales harmoniques et ses… Lire la suite
LIE SOPHUS (1842-1899): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "L'œuvre de Lie" : … c'est de cette époque, d'après son propre témoignage, que datent les premières idées de Lie sur les *groupes de transformations. Dans un mémoire de 1870, écrit en commun, Lie et Klein étudient systématiquement les sous-groupes à un paramètre du groupe projectif du plan et les orbites de ces sous-groupes, les « courbes W » et retrouvent ainsi, dans… Lire la suite
MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967): Écrit par : Gabriel SABBAGH
… *Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik, 1936, Maltsev démontre la version la plus générale (aucune… Lire la suite
MODÈLES THÉORIE DES: Écrit par : Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH
Dans le chapitre "Extensions, diagrammes, chaînes" : … a notamment permis à Mal'cev d'établir très simplement le caractère fini de diverses classes de *groupes effectivement considérées en théorie des groupes. Théorème de Łoś-Tarski. Soit T une théorie telle que toute sous-structure d'un modèle de T soit un modèle de T. Alors T équivaut à (i.e. a les mêmes modèles que) un ensemble… Lire la suite
NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel): Écrit par : Bernard PIRE
… façon naturelle dans de nombreux autres domaines, y compris en dehors des mathématiques. De même, *la notion de groupe a été fort développée depuis les travaux d'Évariste Galois (1811-1832), mais Bourbaki met l'accent sur l'importance de la structure intrinsèque de groupe. Selon Aczel, le concept de structure, issu des recherches en… Lire la suite
OBJET UNIVERSEL, mathématique: Écrit par : Patrick DEHORNOY
… un cadre formel unique, nous allons décrire deux exemples appartenant à des mondes très différents. *Considérons les groupes en algèbre. Un groupe G est un couple formé d'un ensemble G et d'une opération binaire dans G telle que, en la notant comme une multiplication, x(yz) = (xy)z pour… Lire la suite
PONTRIAGUINE LEV SEMENOVITCH (1908-1988): Écrit par : Universalis
… *Mathématicien russe, membre de l'Académie des sciences (1958), Prix Staline (1941), Prix Lénine (1962). Né à Moscou, Pontriaguine perd la vue à quatorze ans et achève néanmoins ses études à l'université de Moscou en 1929. Ses travaux concernent essentiellement la topologie et les groupes topologiques. En 1932, il découvre la loi générale de dualité… Lire la suite
RAMAN EFFET: Écrit par : Michel DELHAYE
Dans le chapitre "Symétrie des vibrations et théorie des groupes" : … sur les propriétés de symétrie des molécules, et en faisant appel à des résultats connus de la* théorie des groupes. La prévision des caractères essentiels des spectres vibrationnels d'un édifice moléculaire donné se résume en quelques étapes. On imagine, à partir de la formule chimique et des propriétés connues, les différentes configurations… Lire la suite
RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange): Écrit par : Bernard PIRE
*Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage… Lire la suite
SCHUR ISSAÏ (1875-1941): Écrit par : Jean DIEUDONNÉ
… *Mathématicien allemand d'origine russe, né à Mohilev et mort à Tel-Aviv. Issaï Schur fit ses études secondaires à Libau (Lettonie) et ses études supérieures à l'université de Berlin, où il fut l'élève de Frobenius. Il enseigna à Bonn de 1911 à 1916, puis à Berlin, jusqu'au moment où les lois raciales l'obligèrent à abandonner sa chaire, en 1935 ;… Lire la suite
SYMÉTRIES, physique: Écrit par : Bernard PIRE
Dans le chapitre " De l'observation des symétries à la théorie des groupes" : … liées à une description théorique (l'isospin d'un quark, la phase d'une fonction d'onde...). Dans *tous les cas, l'outil mathématique essentiel à la compréhension du concept de symétrie est la théorie des groupes. Ce domaine des mathématiques a été développé au xix^e siècle par de nombreux travaux dont les plus novateurs sont… Lire la suite
THOMPSON JOHN GRIGGS (1932- ): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien américain, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 13 octobre 1932 à Ottawa dans le Kansas (États-Unis), John Griggs Thompson fait ses études supérieures à l'université Yale de New Haven (Connecticut), puis à l'université de Chicago où il soutient sa thèse de doctorat en 1959 sous la… Lire la suite
TITS JACQUES (1930- ): Écrit par : Universalis
… depuis 1979. Les travaux de Jacques Tits portent principalement sur l'interaction entre géométrie et* groupes. Il est l'inventeur de la notion d'immeuble. Les immeubles sont des objets géométriques (exprimés en termes ensemblistes) possédant certaines propriétés et que l'on met en relation avec divers objets, en particuliers des groupes algébriques… Lire la suite
TRESSES, mathématiques: Écrit par : Patrick DEHORNOY
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WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913): Écrit par : Jeanne PEIFFER
… *Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en… Lire la suite
WIGNER EUGENE PAUL (1902-1994): Écrit par : Viorel SERGIESCO
… *Physicien théoricien américain d'origine hongroise (il est né le 17 novembre 1902 à Budapest), professeur à Princeton, Prix Nobel de physique en 1963 (avec M. Goeppert-Mayer et H. D. Jensen), auteur de contributions fondamentales à la physique mathématique et à la mécanique quantique en général, à la théorie du solide, à la physique nucléaire et à… Lire la suite
ZELMANOV EFIM ISAAKOVITCH (1955- ): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 7 septembre 1955 à Khabarovsk (Russie), Efim Isaakovitch Zelmanov fait ses études supérieures à l'université de Leningrad, puis à celle de Novosibirsk où il soutient sa thèse de doctorat en 1980. Membre de l'institut de mathématiques de l'… Lire la suite

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Théorie des groupes et des algèbres de Lie

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