1. La structure des groupes de Lie généraux
Un groupe de Lie (appelé aussi groupe de Lie réel) est, par définition, une variété analytique réelle G (dite sous-jacente au groupe), munie d'une loi de composition (x, y) ↦ xy pour laquelle G est un groupe, et qui est telle que l'application (x, y) ↦ xy-1 de G × G dans G soit analytique. Une variété analytique complexe G munie d'une loi de composition (x, y) ↦ xy pour laquelle G est un groupe, et qui est telle que (x, y) ↦ xy-1 soit une application holomorphe de G × G dans G, est appelée groupe de Lie complexe ; un tel groupe peut évidemment aussi être considéré comme groupe de Lie réel (dit sous-jacent au groupe de Lie complexe), en n'envisageant que sa structure de variété analytique réelle. Dans un groupe de Lie réel (resp. complexe) G, les translations x ↦ ax, x ↦ xa et les automorphismes intérieurs :
Un sous-groupe de Lie (resp. sous-groupe de Lie complexe) H d'un groupe de Lie (resp. groupe de Lie complexe) G est un sous-groupe de G dont l'ensemble sous-jacent est une sous-variété fermée de la variété sous-jacente à G. On montre qu'un sous-groupe fermé d'un groupe de Lie G est nécessairement un sous-groupe de Lie de G (mais non nécessairement un sous-groupe de Lie complexe lorsque G est un groupe de Lie complexe).
Ainsi, le groupe linéaire GL (n, R) (resp. GL(n, C)) est un groupe de Lie réel (resp. complexe) de dimension (resp. de dimension complex […]
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