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GROUPES (mathématiques) Généralités

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5.  Groupes de transformations

Si E est un ensemble, nous avons déjà indiqué que les bijections de E sur lui-même forment un groupe Σ (E) pour la composition des applications, le groupe symétrique de E. Si E est muni d'une structure, les bijections qui conservent cette structure forment un sous-groupe de Σ(E), le groupe des automorphismes de E pour la structure considérée. C'est ainsi qu'on a introduit ci-dessus le groupe Aut(G) des automorphismes d'un groupe G ; si V est un espace vectoriel, on obtient le groupe linéaire de V, noté GL(V), formé des bijections linéaires de V sur V.

On dit qu'un groupe G opère sur un ensemble E si E est muni d'une loi externe dont le domaine d'opérateurs est G :

de telle sorte que g(hx) = (gh)x et 1 x = x pour g, h ∈ G et x ∈ E. Cela entraîne que, pour g ∈ G, l'application ρ(g) : E → E qui à x fait correspondre gx est une bijection de E sur lui-même (dont la bijection réciproque est ρ(g-1)) ; la condition d'associativité s'écrit ρ(gh) = ρ(g) ∘ ρ(h) et exprime donc que ρ est un morphisme de G dans le groupe symétrique Σ(E). On appelle un tel morphisme une représentation du groupe G dans le groupe Σ(E) ; si ρ est un isomorphisme de G sur son image, on dit qu'on a réalisé le groupe G comme groupe de transformations de E. Remarquons qu'on peut toujours réaliser un groupe comme groupe de transformations de l'ensemble qui lui est sous-jacent en identifiant tout élément g ∈ G à la translation à gauche h ↦ gh. Dans ce qui suit, nous considérerons un groupe G qui opère sur un ensemble E.

Pour x ∈ E, on appelle orbite de x l'ensemble des éléments gx pour g ∈ G ; remarquons que les orbites de deux éléments sont toujours disjointes ou confondues, car la relation x ∼ y, s'il existe g ∈ G tel que y = gx, est une relation d'équivalence sur E. On appelle classes d'intransitivité  […]

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Thématique

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GROUPES (mathématiques)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ornements géométriques imaginés par les… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la géométrie algébrique et… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

Écrit par :  Everett DADE

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de leurs élèves vers le commencement du… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

Écrit par :  Everett DADE

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis plus… Lire la suite
ALGÈBRE

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "La théorie des groupes"  : …  *La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe… Lire la suite
ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Dans le chapitre "Espèces de structures de magma et espèces de structures plus riches"  : …  neutre est 1, et tout élément de ℕ∗ est simplifiable mais 0 n'est pas simplifiable. *Un groupe peut être défini indifféremment comme un monoïde (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un magma associatif unifère (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un groupoïde… Lire la suite
BOREL ARMAND (1923-2003)

Écrit par :  Pierre CARTIER

…  mis au point une méthode révolutionnaire, celle des faisceaux, qui bouleversait la géométrie. *Dans la tradition zurichoise, Borel s'intéressait avant tout à la théorie des groupes, et à ses applications à la géométrie. Il maîtrisait parfaitement les méthodes dites « globales », qui s'opposent aux méthodes plus algébriques dues à Sophus Lie… Lire la suite
BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches jusqu'en 1885. Dans son premier article, daté de 1883… Lire la suite
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Une production considérable"  : …  à 3, et il partage avec Binet la découverte de la formule donnant le produit de deux déterminants.* Il a été aussi le premier à dégager clairement la notion de groupe de permutations et on lui doit les premiers résultats non triviaux de la théorie des groupes (par exemple, l'existence dans un groupe d'un élément d'ordre premier p, pour… Lire la suite
CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

Écrit par :  Lubos NOVY

Dans le chapitre "Définition des groupes abstraits finis"  : …  La* richesse de l'approche de Cayley apparaît dès ses premiers travaux sur la théorie des groupes (1854). Jusque-là, seuls les groupes de substitution étaient utilisés. Cayley, abordant les travaux de Galois, Gauss et Cauchy avec les méthodes des algébristes anglais, donne une définition des groupes abstraits ; en fait, sa définition ne convient que… Lire la suite
CHAMPS THÉORIE DES

Écrit par :  Bernard PIRE

Dans le chapitre " Théories de jauge et description des interactions nucléaires"  : …  L'ensemble des multiplications par les facteurs eiaQ ayant la structure d'un *groupe appelé U(1) par les mathématiciens, on parle d'invariance de jauge U(1). L'électrodynamique quantique peut alors se construire comme la théorie minimale qui soit invariante lors des multiplications des fonctions d'onde des… Lire la suite
CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

… *Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa carrière comme professeur et correspondant de l'… Lire la suite
DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Les travaux de ce mathématicien français, né le 1er juillet 1906 à Lille, concernent d'importants domaines de la topologie et de l'algèbre. Depuis 1935, et jusqu'à ces dernières années, Dieudonné a collaboré très activement à l'élaboration des Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki. En 1968, il a été élu à l'Académie des… Lire la suite
ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par :  Jacques STERN

Dans le chapitre "Résultats d'indépendance en algèbre et en analyse"  : …  celle de l'algèbre ou de l'analyse. Citons tout d'abord le problème de Whitehead : Déterminer les *groupes G tels que tout homomorphisme surjectif g d'un groupe H sur G de noyau isomorphe à Z admette une rétraction, c'est-à-dire un homomorphisme h de G dans H tel que g ∘ h soit l'identité. Les groupes… Lire la suite
FROBENIUS GEORG FERDINAND (1849-1917)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien allemand, connu en particulier pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 26 octobre 1849 à Charlottenburg, près de Berlin (Prusse), Georg Ferdinand Frobenius était le fils d'un pasteur protestant. Après des études secondaires au lycée Joachimsthal de Berlin, il passe un semestre à l'université de Göttingen puis continue ses… Lire la suite
GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)

Écrit par :  Jean-Pierre AZRA, Robert BOURGNE

Dans le chapitre "L'œuvre mathématique"  : …  les racines primitives de l'unité qui laisse pressentir l'utilisation par Galois de la théorie des *groupes. Si on ajoute qu'en 1830 Cauchy vient de formuler la notion de groupe de permutations d'un ensemble fini, on conçoit où en étaient les problèmes étudiés par Galois au moment où il soumet son premier mémoire à l'Académie des sciences… Lire la suite
GÉNÉRATEUR, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

…  1 et lui-même, et ne peut donc être le produit d'une famille d'entiers qui ne le contiendrait pas. *Il est possible de déterminer tous les groupes monogènes : il s'agit, soit d'un groupe infini, auquel cas il est isomorphe à (ℤ, +), soit fini, de cardinal N, et isomorphe au groupe des rotations du plan dont l'angle a pour mesure un multiple de 360… Lire la suite
GÉOMÉTRIE

Écrit par :  François RUSSO

Dans le chapitre "Transformations et groupes"  : …  en géométrie, ne fut pleinement compris que lorsque Klein leur associa la notion de *groupe (cf. groupes [mathématiques]– Groupes classiques et géométrie), introduite par Évariste Galois (1811-1832) en 1830, et diffusée seulement en 1870 par le Traité des substitutions et des équations algébriques de Camille Jordan (1838-1922). C'… Lire la suite
GROUPES DE GALOIS

Écrit par :  Bernard PIRE

  *L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est… Lire la suite
LIE GROUPES DE

Écrit par :  Bernard PIRE

  *La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen, de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à… Lire la suite
HALL PHILIP (1904-1982)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 11 avril 1904 à Hampstead près de Londres, abandonné par son père dès sa naissance, Philip Hall passe son enfance dans un milieu pauvre et fait ses études élémentaires au Christ's Hospital de Londres. Élève brillant, il est admis au King's College de l'université de Cambridge… Lire la suite
HIGMAN GRAHAM (1917-2008)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien britannique spécialiste de la théorie des groupes né le 19 janvier 1917, mort le 8 avril 2008. Fils d'un pasteur de l'Église anglicane, Graham Higman fait des études secondaires à Plymouth, puis obtient une bourse pour étudier à l'université d'Oxford. Il y accomplit son travail de thèse en mathématiques pures sous la direction d'Henry… Lire la suite
INVARIANT, mathématique

Écrit par :  Nicole BERLINE

… ) + (vb – uc) ; ac – b2 ; a + c. *Ces fonctions prennent la même valeur pour deux équations déduites l'une de l'autre par une isométrie : on dit qu'elles sont invariantes par le groupe des isométries du plan. De plus, si on exclut le cas d'une conique dégénérée en deux droites… Lire la suite
KODAIRA KUNIHIKO (1915-1997)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Né à Tōkyō (Japon), Kodaira Kunihiko fit des études de mathématiques et de physique théorique à l'université de sa ville natale, où il fut ensuite professeur. En 1949, il va enseigner à l'Institute for Advanced Study, puis à l'université de Princeton. En 1954, il obtint la médaille Fields pour sa théorie des intégrales harmoniques et ses… Lire la suite
LIE SOPHUS (1842-1899)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "L'œuvre de Lie"  : …  c'est de cette époque, d'après son propre témoignage, que datent les premières idées de Lie sur les *groupes de transformations. Dans un mémoire de 1870, écrit en commun, Lie et Klein étudient systématiquement les sous-groupes à un paramètre du groupe projectif du plan et les orbites de ces sous-groupes, les « courbes W » et retrouvent ainsi, dans… Lire la suite
MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik, 1936, Maltsev démontre la version la plus générale (aucune… Lire la suite
MODÈLES THÉORIE DES

Écrit par :  Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH

Dans le chapitre "Extensions, diagrammes, chaînes"  : …  a notamment permis à Mal'cev d'établir très simplement le caractère fini de diverses classes de *groupes effectivement considérées en théorie des groupes. Théorème de Łoś-Tarski. Soit T une théorie telle que toute sous-structure d'un modèle de T soit un modèle de T. Alors T équivaut à (i.e. a les mêmes modèles que) un ensemble… Lire la suite
NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)

Écrit par :  Bernard PIRE

…  façon naturelle dans de nombreux autres domaines, y compris en dehors des mathématiques. De même, *la notion de groupe a été fort développée depuis les travaux d'Évariste Galois (1811-1832), mais Bourbaki met l'accent sur l'importance de la structure intrinsèque de groupe. Selon Aczel, le concept de structure, issu des recherches en… Lire la suite
OBJET UNIVERSEL, mathématique

Écrit par :  Patrick DEHORNOY

… un cadre formel unique, nous allons décrire deux exemples appartenant à des mondes très différents. *Considérons les groupes en algèbre. Un groupe G est un couple formé d'un ensemble G et d'une opération binaire dans G telle que, en la notant comme une multiplication, x(yz) = (xy)z pour… Lire la suite
PONTRIAGUINE LEV SEMENOVITCH (1908-1988)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien russe, membre de l'Académie des sciences (1958), Prix Staline (1941), Prix Lénine (1962). Né à Moscou, Pontriaguine perd la vue à quatorze ans et achève néanmoins ses études à l'université de Moscou en 1929. Ses travaux concernent essentiellement la topologie et les groupes topologiques. En 1932, il découvre la loi générale de dualité… Lire la suite
RAMAN EFFET

Écrit par :  Michel DELHAYE

Dans le chapitre "Symétrie des vibrations et théorie des groupes"  : …  sur les propriétés de symétrie des molécules, et en faisant appel à des résultats connus de la* théorie des groupes. La prévision des caractères essentiels des spectres vibrationnels d'un édifice moléculaire donné se résume en quelques étapes. On imagine, à partir de la formule chimique et des propriétés connues, les différentes configurations… Lire la suite
RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

Écrit par :  Bernard PIRE

  *Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage… Lire la suite
SCHUR ISSAÏ (1875-1941)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

… *Mathématicien allemand d'origine russe, né à Mohilev et mort à Tel-Aviv. Issaï Schur fit ses études secondaires à Libau (Lettonie) et ses études supérieures à l'université de Berlin, où il fut l'élève de Frobenius. Il enseigna à Bonn de 1911 à 1916, puis à Berlin, jusqu'au moment où les lois raciales l'obligèrent à abandonner sa chaire, en 1935 ;… Lire la suite
SYMÉTRIES, physique

Écrit par :  Bernard PIRE

Dans le chapitre " De l'observation des symétries à la théorie des groupes"  : …  liées à une description théorique (l'isospin d'un quark, la phase d'une fonction d'onde...). Dans *tous les cas, l'outil mathématique essentiel à la compréhension du concept de symétrie est la théorie des groupes. Ce domaine des mathématiques a été développé au xixe siècle par de nombreux travaux dont les plus novateurs sont… Lire la suite
THOMPSON JOHN GRIGGS (1932- )

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien américain, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 13 octobre 1932 à Ottawa dans le Kansas (États-Unis), John Griggs Thompson fait ses études supérieures à l'université Yale de New Haven (Connecticut), puis à l'université de Chicago où il soutient sa thèse de doctorat en 1959 sous la… Lire la suite
TITS JACQUES (1930- )

Écrit par :  Universalis

… depuis 1979. Les travaux de Jacques Tits portent principalement sur l'interaction entre géométrie et* groupes. Il est l'inventeur de la notion d'immeuble. Les immeubles sont des objets géométriques (exprimés en termes ensemblistes) possédant certaines propriétés et que l'on met en relation avec divers objets, en particuliers des groupes algébriques… Lire la suite
TRESSES, mathématiques

Écrit par :  Patrick DEHORNOY

… les tresses  ββ¯ et β¯β sont isotopes à εn. *Donc l'ensemble des tresses à n brins muni du produit défini ci-dessus est un groupe: le groupe des tresses à n brins, traditionnellement noté Bn, le mot anglais pour tresse étant braid.… Lire la suite
WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en… Lire la suite
WIGNER EUGENE PAUL (1902-1994)

Écrit par :  Viorel SERGIESCO

… *Physicien théoricien américain d'origine hongroise (il est né le 17 novembre 1902 à Budapest), professeur à Princeton, Prix Nobel de physique en 1963 (avec M. Goeppert-Mayer et H. D. Jensen), auteur de contributions fondamentales à la physique mathématique et à la mécanique quantique en général, à la théorie du solide, à la physique nucléaire et à… Lire la suite
ZELMANOV EFIM ISAAKOVITCH (1955- )

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 7 septembre 1955 à Khabarovsk (Russie), Efim Isaakovitch Zelmanov fait ses études supérieures à l'université de Leningrad, puis à celle de Novosibirsk où il soutient sa thèse de doctorat en 1980. Membre de l'institut de mathématiques de l'… Lire la suite

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Groupe des symétries du cube

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