4. Produits
Soit n groupes G1, ..., Gn. L'ensemble produit :
est un groupe, appelé
groupe produit, pour la loi de composition :
si H
1, H
2, ..., H
n sont des sous-groupes de G
1, G
2, ..., G
n respectivement, le groupe produit :
est un sous-groupe de G, distingué si chacun des H
i l'est. Prenons en particulier H
i = G
i et H
j = {1} pour
j ≠
i ; le groupe produit est un sous-groupe distingué de G isomorphe à G
i et nous identifierons ces deux groupes. Remarquons que, en effectuant cette identification, tout élément de G
i commute avec tout élément de G
j pour
i ≠
j.
Dans la situation précédente, le groupe G apparaît comme produit de certains de ses sous-groupes et les groupes obtenus en changeant l'ordre des groupes facteurs sont isomorphes.
On dira qu'un groupe G est produit direct d'une famille finie H1, ..., Hn de sous-groupes distincts de G si tout élément de Hi commute avec tout élément de Hj pour i ≠ j et si tout élément u de G s'écrit de manière unique comme un produit :
on dit que
ui est le composant de
u dans H
i. Cela entraîne que les H
i sont des sous-groupes distingués de G et que l'application :
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