3. Relations d'équivalence et quotients
Dans ce qui suit interviendra souvent le fait que l'inverse d'un produit ab de deux éléments d'un groupe est le produit b-1a-1 des inverses en renversant l'ordre ; car, en utilisant l'associativité :
À partir d'un sous-groupe, on peut définir plusieurs relations d'équivalence sur un groupe. Si le sous-groupe vérifie une propriété supplémentaire, ces relations coïncident et on peut alors munir l'ensemble quotient d'une structure de groupe.
• Classes suivant un sous-groupe
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. La relation :
est une relation d'équivalence sur G. En effet
x ∼
g x, car
x-1x = 1 ∈ H ; si
x ∼
g y, l'élément
x-1y appartient à H et, par suite, aussi son inverse (
x-1y)
-1 =
y-1x, ce qui signifie :
y ∼
g x ; la transitivité résulte du fait que, si
x-1y et
y-1z sont deux éléments du sous-groupe H, leur produit (
x-1y)(
y-1z) =
x-1z est aussi un élément de H. La classe d'équivalence d'un élément
x ∈ G est l'ensemble
xH des produits
xh lorsque
h parcourt H, appelé
classe à gauche de x suivant H (ou modulo H). Deux classes à gauche sont disjointes ou confondues. Lorsque le nombre de classes à gauche distinctes est fini, on l'appelle l'
indice du sous-groupe H dans G, et on note ce nombre [G : H]. Remarquons que, puisque, pour
x fixé, l'application
g ↦
xg est, d'après […]
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