5. Mathématiques appliquées
Le travail d'abstraction progressive entrepris par Peano s'accompagne constamment d'une réflexion concernant les problèmes pratiques. Sa contribution à l'analyse numérique est importante : il a perfectionné notamment les techniques d'interpolation et de quadrature approchée, et, surtout, il a mis en évidence la structure des restes des formules de l'analyse numérique. D'après Peano, le reste d'une formule qui est exacte pour les fonctions polynomiales de degré n s'exprime sous forme intégrale à l'aide d'un noyau qui est une fonction polynomiale par morceaux.
En mécanique rationnelle, il a contribué à faire adopter des notations intrinsèques. On lui doit l'explication du déplacement du pôle sur le globe terrestre. Il a également éclairci le « paradoxe de la chute du chat », qui occupa la mémorable séance du 29 octobre 1894 à l'Académie des sciences de Paris : il s'agissait de comprendre comment, si l'on fait tomber, en chute libre, un chat avec les quatre pattes en l'air, l'animal retombait toujours sur ses pieds.
L'érudition de Peano dans le domaine de l'histoire des mathématiques est considérable. Rejetant les détails anecdotiques, il s'intéresse essentiellement à la genèse des idées : c'est ce même point de vue qui sera repris par N. Bourbaki.
L'intérêt de Peano pour les questions sociales est attesté par son projet de caisse mutuelle coopérative de retraite, dont il a élaboré la théorie mathématique, et par son activité à la tête du mouvement Interlingua pour le rapprochement des peuples.
Ce savant sort des sentiers battus dans tous les domaines, anticipant sur des modes futures. Ainsi, dès 1912, il prend vigoureusement position contre l'institution des examens dans les universités ! Il s'insurge de devoir être simultanément un père et un juge pour ses élèves, ce qui les incite à l'aimer comme un père et à le détester en tant que juge.
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