3. La formalisation
La langue usuelle est peu adaptée à la rigueur mathématique. Cela incite Peano (après C. S. Peirce, E. Schröder et G. Frege) à réaliser le vieux projet de Leibniz : l'élaboration d'un langage formalisé, utilisant peu de symboles et soumis à une grammaire rationnelle. Le symbolisme de Peano, qu'il nomme pasigraphie (cf. illustration), sera repris, avec des modifications mineures, par B. Russell et A. Whitehead dans Principia Mathematica. Essentiellement, les mêmes notations sont utilisées de nos jours (cependant, Peano écrit ∧ là où l'on écrit actuellement ∅, 1 au lieu de ⇒, etc.). Ce n'est pas un langage complètement formalisé, car il comporte de nombreux symboles d'abréviation.
Avec la collaboration de nombreux élèves, Peano rédige de 1894 à 1908 son Formulaire de mathématiques qui préfigure, avec un demi-siècle d'avance, les fascicules de résultats de N. Bourbaki. Il s'agit de réécrire, en langage pasigraphique, les fondements des mathématiques. Le Formulaire traite successivement de logique, des fondements de l'arithmétique, de l'analyse et de la géométrie.
Auparavant, Peano s'intéresse à l'élaboration de symbolismes intrinsèques. En 1888, il publie le Calcul géométrique selon l'Ausdehnungslehre de Grassmann, où s'élabore le calcul vectoriel, compte tenu des travaux de W. R. Hamilton, G. Bellativis, A. F. Möbius... Il faudra plus de trente ans pour imposer le calcul vectoriel dans l'enseignement des mathématiques, et là encore Peano est un précurseur.
L'intérêt de Peano pour les langages rationnels ne se borne cependant pas au seul domaine mathématique. Pionnier du mouvement pour une langue auxiliaire internationale, il fut président de l'Academia pro interlingua. Dans ce domaine, ses travaux comportent l'étude critique des diverses langues proposées (volapük, esperanto, etc.), la compilation du vocabulaire commun aux langues vivantes usuelles, ainsi que l'élaboration du latino sine flexione, qui utilise le vocabulaire latin sans en adopter la grammaire. Les déclinaisons et conjugaisons y sont supprimées, ainsi que les distinctions de genre et de nombre, conformément aux suggestions de Leibniz. Par exemple, on écrit « mater est bono », et, si l'on tient à insister sur le genre féminin de la mère, « mater est femina bono ».
Actuellement, la linguistique a pris une importance de premier plan. Là encore, Peano est à l'origine du mouvement.
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