Mathématicien brillant, travailleur acharné, doué d'un profond talent d'algébriste, Georges-Henri Halphen a attaché son nom surtout à des résultats de géométrie analytique.
Né à Rouen le 30 octobre 1844, il fut élevé à Paris, reçut sa première formation au lycée Saint-Louis, entra à l'École polytechnique en 1862 et sortit en 1866 comme lieutenant d'artillerie de l'École d'application de Metz. Il participa à la guerre franco-allemande, 1870-1871, dans l'armée du général Faidherbe.
En 1872, il retourna à l'École polytechnique pour y exercer d'abord la fonction de répétiteur, puis celle d'examinateur.
Ses premiers travaux mathématiques datent d'avant la guerre franco-prussienne, mais Halphen ne se signala à l'attention de la communauté mathématique qu'en 1873, lorsqu'il résolut d'une méthode originale la conjecture de Chasles. Cette loi s'inscrit dans ce qu'on appela la géométrie énumérative, qui, selon Henri Poincaré, « a pour but de déterminer le nombre de points, des droites, des courbes ou des surfaces qui satisfont à certaines conditions données » et doit ses premiers progrès à Chasles. En particulier, pour les systèmes algébriques de coniques dépendant d'un paramètre arbitraire, Chasles avait donné une loi indiquant le nombre de coniques satisfaisant à une condition donnée. Halphen montra que la conjecture de Chasles n'est correcte que lorsque le système de coniques admet uniquement des singularités ordinaires (nécessaires).
Halphen était le premier à classer les points singuliers des courbes algébriques. Ce problème touche les travaux classiques de V. Puiseux, qui avaient établi les principes fixant le comportement d'une telle courbe au voisinage d'un point et étend les recherches de Riemann, qui dans sa théorie des fonctions abéliennes avait introduit la notion de genre d'une courbe algébrique. Halphen donna une formule générale pour le genre d'une courbe algébrique plane.
Dans sa recherche, Halphen avait rencontré des équations différentielles qui restent invariantes sous […]
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