4. La rupture avec les mathématiques traditionnelles
De 1882 à 1884, Cantor publie une série de mémoires dans lesquels il pose les bases de la théorie des ensembles abstraits, du calcul des puissances et de la théorie des ordinaux transfinis ; dans son esprit, ces concepts ne sont encore que « l'unité supérieure qui permet de considérer du même point de vue, le continu et le discontinu, de les mesurer avec une même mesure ». Deux mémoires (1894 et 1897) reprendront et systématiseront toutes ces notions dans un contexte complètement abstrait.
Il n'est pas question d'exposer ici la théorie désormais classique des nombres ordinaux et des nombres cardinaux (cf. théorie des ensembles). Cantor a mis en évidence les deux aspects de la notion usuelle de nombre d'éléments d'un ensemble fini ; le nombre est une abstraction qui émane d'un ensemble d'objets et qui se scinde, par passage aux ensembles infinis, en deux concepts distincts : « celui de la puissance [...] indépendante de l'ordre imposé à l'ensemble et celui de nombre ordinal qui est nécessairement lié à l'ordre imposé à l'ensemble ». Il ajoute : « Si je redescends de l'infini au fini, je vois avec la même clarté et la même beauté comment les deux concepts redeviennent un et se fondent dans le concept de nombre entier fini. »
Pour Cantor, « la puissance ou nombre cardinal d'un ensemble est le concept universel ou générique que l'on obtient en faisant abstraction pour l'ensemble aussi bien de la constitution de ses éléments que de toutes les relations que ces éléments ont entre eux ou avec d'autres choses, donc en particulier de l'ordre qui règne entre eux, et en ne considérant que ce qui est commun à tous les ensembles qui lui sont équivalents ». La notion de nombre ordinal est au contraire liée à l'existence d'un bon ordre ; dans la classification des ordinaux en deux espèces, on retrouve les deux modes de génération des symboles infinis de dérivation : adjonction d'un élément et « passage à la limite ». Cantor appelle or […]
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