3. La dérivation des ensembles
Les travaux de Weierstrass avaient mis en évidence l'importance de la notion de point d'accumulation d'un ensemble infini, c'est-à-dire de point contenant dans tout voisinage une infinité de points de l'ensemble ; tout point de l'ensemble qui n'est pas un point d'accumulation est appelé par Cantor un point isolé. Par définition, on appelle alors ensemble dérivé d'un ensemble de points E l'ensemble E′ des points d'accumulation de E. Les premiers travaux de Cantor sur les ensembles exceptionnels qui interviennent dans la théorie des séries trigonométriques avaient mis en évidence l'importance de la notion d'ensemble dérivé ; en liaison avec ses recherches sur le dénombrable et le continu, il développa une théorie des ensembles de points intimement liés à des considérations fines de topologie de la droite, espérant ainsi appréhender le passage du continu au dénombrable. Nous dégagerons surtout ici les idées qui vont le conduire à l'arithmétique transfinie.
Si E est un ensemble infini, on peut former la suite de ses dérivés successifs :
Cantor dit que E est du premier type si un de ces ensembles dérivés est constitué d'un nombre fini de points, et du second dans le cas contraire. Pour approfondir l'étude des ensembles du second type, Cantor, remarquant qu'à partir de E′ chaque ensemble contient son dérivé, appelle dérivé d'ordre ∞ l'ensemble E(∞) des points communs à tous les dérivés successifs de E′ ; par dérivations successives de E(∞), on obtient les ensembles dérivés d'ordres ∞ + 1, ∞ + 2, ..., ∞ + n, ... ce qui, en considérant de nouveau l'ensemble des points communs à tous les ensembles précédents, permet de définir le dérivé d'ordre 2 ∞ ; le même processus permet de définir les ensembles dérivés d'ordres 3∞, ..., n∞, ..., ∞2, ..., ∞n, ..., ∞∞ ... Comme il l'écrit, « nous voyons ici une génération dialectique de concepts qui conduit toujours plus loin et qui, libre de toute contrainte, reste nécessaire en soi et conséquente ». Mais la synthèse che […]
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