2. La découverte des deux puissances
Le point de départ des travaux de Cantor est l'étude des quantités irrationnelles et du continu ; il a donné, avec Dedekind qui suit une autre approche, sa forme définitive à la théorie des nombres réels. En vue d'arithmétiser l'analyse, c'est-à-dire de dégager complètement la définition des nombres réels de la notion de limite, Cantor met en évidence le caractère « idéal » de la notion de nombre réel : un nombre irrationnel est défini par la donnée d'une suite fondamentale de nombres rationnels (on dit plutôt, de nos jours, suite de Cauchy) ; le continu, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels, que Cantor identifie axiomatiquement aux points d'une droite apparaît ainsi comme défini par une multitude de suites superposées de nombres rationnels.
Les premières investigations de Cantor sont relatives à la possibilité de ranger certains ensembles de nombres en une suite simple u1, u2, ..., un... Cantor montre que c'est le cas pour toute suite multiple (linéarisation) et pour l'ensemble des nombres rationnels, tandis que Dedekind lui communique le même résultat pour les nombres algébriques, c'est-à-dire les nombres qui sont racines d'équations à coefficients entiers. En est-il de même de l'ensemble des nombres réels ? Quelques jours après s'être posé cette question, Cantor y répond par la négative et dégage immédiatement la portée de ce résultat pour l'analyse : il existe une infinité de nombres transcendants et ces derniers ne se laissent pas ranger en une suite simple. On voit apparaître ici une démonstration d'existence qui n'est pas effective, en ce sens qu'elle ne permet pas concrètement de construire les nombres transcendants dont elle affirme l'existence ; pour cette raison, un mathématicien « réaliste », comme Kronecker, estime qu'une telle démonstration n'en est pas une.
Ranger des nombres en une suite simple signifie établir une correspondance biunivoque (on dit plutôt bijection) avec l'ensemble des nombres entiers ; cette appro […]
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