GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  AXIOMATIQUE

Écrit par : Georges GLAESER

Dans le chapitre "Origines de l'axiomatique mathématique"  : … il faut attendre la fin du xix^e siècle pour que l'étude et l'édification des *géométries non euclidiennes dégage le caractère abstrait, et dans une certaine mesure arbitraire, de l'axiomatique et montre la relativité de la notion de vérité en mathématiques. On doit à G. Peano (1858-1932) et à R. Dedekind (1831-1916) un exposé… Lire la suite

2.  BOLYAI JÁNOS (1802-1860)

Écrit par : Jacques MEYER

… *S'intéressant aux mathématiques, János Bolyai y consacra les loisirs que lui laissait son métier d'officier du génie sous l'impulsion de son père Farkas Bolyai (1775-1856), professeur de mathématiques et ancien condisciple de Gauss, avec qui il entretenait une correspondance sur les fondements de la géométrie. À l'âge de vingt deux ans, János… Lire la suite

3.  CLIFFORD WILLIAM KINGDON (1845-1879)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien et philosophe qui a élaboré la théorie des biquaternions (généralisation de la théorie des quaternions du mathématicien irlandais sir William Rowan Hamilton) et l'a rattachée à des algèbres associatives plus générales. En 1871, Clifford fut nommé professeur de mathématiques au collège de l'université de Londres et fut élu trois ans… Lire la suite

4.  CONVENTIONNALISME, mathématique

Écrit par : Gerhard HEINZMANN

… parallèles est possible, ce dernier serait-il un jugement synthétique a priori et donc nécessaire ? *Des théories aussi cohérentes que celle d'Euclide, appelées géométries non euclidiennes, sont apparues. On ne peut refuser aux jugements non euclidiens le statut de connaissances. Certains soulignent alors le rôle indispensable des conventions, des… Lire la suite

5.  COSMOLOGIE

Écrit par : Marc LACHIÈZE-REY

Dans le chapitre "L'Univers de la relativité générale"  : … rapidement limité, faute d'objet. Au contraire, la relativité générale offre une riche diversité de *géométries possibles, dont la géométrie euclidienne n'est qu'un cas bien particulier. Ces géométries définissent par exemple (bien que non totalement) l'extension spatiale de l'Univers, finie ou infinie, les lois de propagation de la lumière et bien… Lire la suite

6.  ESPACE, mathématique

Écrit par : Jean-Marc SCHLENKER

Dans le chapitre "De la géométrie projective aux espaces symétriques"  : … des géomètres ont tenté de montrer que cet énoncé découlait des autres axiomes d'Euclide. *Motivés par cette question, János Bolyai et Nikolaï Lobatchevski découvrent indépendamment, vers 1825, une nouvelle forme de géométrie, appelée hyperbolique, dans laquelle tous les axiomes d'Euclide sont vrais, sauf le cinquième qui est… Lire la suite

7.  FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

Écrit par : Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Le problème de la représentation conforme"  : … que la géométrie correspondante est celle de N. I. Lobatchevsky (c'est le fameux modèle de Poincaré pour la *géométrie non euclidienne). Les résultats obtenus pour le disque unité se transposent au demi-plan. Comme le passage de l'un à l'autre s'opère au moyen d'une transformation homographique, les automorphismes du demi-plan supérieur sont les… Lire la suite

8.  GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

Écrit par : Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "La notion d'espace"  : … , il était parvenu à la conviction que ce postulat était indémontrable, et qu'*il y avait donc place, à côté de la géométrie euclidienne classique, pour une autre géométrie où il existerait plusieurs parallèles à une droite passant par un même point. On sait que c'est là un tournant capital de l'histoire des mathématiques, marquant le… Lire la suite

9.  GÉOMÉTRIE

Écrit par : François RUSSO

Dans le chapitre "Les géométries non euclidiennes"  : … *Jusqu'au début du xviii^e siècle, le problème posé par le postulat des parallèles fut envisagé dans la même perspective : le postulat n'est pas une évidence première, mais une vérité qu'on doit pouvoir démontrer. La plupart des démonstrations se fondent sur la définition de la parallèle comme droite équidistante à une droite… Lire la suite

10.  GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Géométries non euclidiennes"  : … *Soit Φ une forme bilinéaire symétrique de signature (n − 1, 1) sur E, et soit F la partie de l'espace projectif P(E) correspondant aux vecteurs x ∈ E tels que Φ(x, x) < 0 ; il résulte de la loi d'inertie que le groupe O(Φ) opère transitivement sur F, et y définit donc une « géométrie » qu'on… Lire la suite

11.  LOBATCHEVSKI NIKOLAÏ IVANOVITCH (1792-1856)

Écrit par : Jacques MEYER

… *Mathématicien russe né à Nijni-Novgorod et mort à Kazan. Nikolaï I. Lobatchevski étudia à l'université de Kazan, où il enseigna à partir de 1812 et occupa la chaire de mathématiques pures de 1822 à 1846. Sous l'influence de Carl F. Gauss et du marquis de Laplace, ses premiers travaux sont : Théorie du mouvement elliptique des corps célestes… Lire la suite

12.  RÉALITÉ CONCEPT DE

Écrit par : Jean HAMBURGER

Dans le chapitre "Césures"  : … presque oublié qu'elle était fille de quelques postulats de départ, intuitifs et non démontrables. *Le jour vint où quelques mathématiciens de génie s'avisèrent qu'on pouvait tout aussi bien construire d'autres géométries sur d'autres postulats. Et ces géométries non euclidiennes se montrèrent de grande richesse, engendrant le concept de certains… Lire la suite

13.  VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Écrit par : Claude MORLET

Dans le chapitre "Les géométries non euclidiennes"  : … Les *géométries non euclidiennes sont l'un des exemples les plus classiques et les plus importants de variétés riemanniennes. Rappelons la construction des géométries de dimension 2 en donnant quelques exemples… Lire la suite