GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES

Articles

• AXIOMATIQUE

  • Écrit par Georges GLAESER
  • 2 036 mots
  Malgré ces préoccupations des mathématiciens grecs, il faut attendre la fin du xix^e siècle pour que l'étude et l'édification des géométries non euclidiennes dégage le caractère abstrait, et dans une certaine mesure arbitraire, de l'axiomatique et montre la relativité de la notion de vérité en...

• BOLYAI JÁNOS (1802-1860)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 219 mots

  S'intéressant aux mathématiques, János Bolyai y consacra les loisirs que lui laissait son métier d'officier du génie sous l'impulsion de son père Farkas Bolyai (1775-1856), professeur de mathématiques et ancien condisciple de Gauss, avec qui il entretenait une correspondance sur les fondements de...

• CLIFFORD WILLIAM KINGDON (1845-1879)

  • Écrit par Universalis
  • 413 mots

  Mathématicien et philosophe qui a élaboré la théorie des biquaternions (généralisation de la théorie des quaternions du mathématicien irlandais sir William Rowan Hamilton) et l'a rattachée à des algèbres associatives plus générales. En 1871, Clifford fut nommé professeur de mathématiques au collège...

• CONVENTIONNALISME, mathématique

  • Écrit par Gerhard HEINZMANN
  • 1 052 mots

  Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet,...

• COSMOLOGIE

  • Écrit par Marc LACHIÈZE-REY
  • 9 300 mots
  • 6 médias
  ...cours du temps. Le discours sur l'Univers est alors rapidement limité, faute d'objet. Au contraire, la relativité générale offre une riche diversité de géométries possibles, dont la géométrie euclidienne n'est qu'un cas bien particulier. Ces géométries définissent par exemple (bien que non totalement)...

• DÉMONSTRATION (notions de base)

  • Écrit par Philippe GRANAROLO
  • 3 085 mots
  ...tirant toutes les conséquences de ces axiomes, ils ne parvinrent à aucun moment à une contradiction. Tous deux venaient d’inventer ce qu’on appellera les « géométries non euclidiennes », la géométrie des espaces à courbure négative pour Lobatchevski, la géométrie des espaces à courbure positive pour...

• ESPACE, mathématique

  • Écrit par Jean-Marc SCHLENKER
  • 1 670 mots
  Motivés par cette question, János Bolyai et Nikolaï Lobatchevski découvrent indépendamment, vers 1825, une nouvelle forme de géométrie, appelée hyperbolique, dans laquelle tous les axiomes d'Euclide sont vrais, sauf le cinquième qui est remplacé par celui-ci : par un point donné, il passe une...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 5 285 mots
  • 10 médias
  ...peut montrer qu'il existe une métrique riemannienne dans le disque unité qui est invariante par ce groupe ; sa courbure est constante et négative de sorte que la géométrie correspondante est celle de N. I. Lobatchevsky (c'est le fameux modèle de Poincaré pour lagéométrie non euclidienne).

• GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
  • 4 886 mots
  ...correspondance que, dès 1816 (soit quinze ans avant Lobatschevski), il était parvenu à la conviction que ce postulat était indémontrable, et qu' il y avait donc place, à côté de la géométrie euclidienne classique, pour une autre géométrie où il existerait plusieurs parallèles à une droite passant...

• GÉOMÉTRIE

  • Écrit par François RUSSO
  • 10 631 mots
  • 4 médias
  Jusqu'au début du xviii^e siècle, le problème posé par le postulat des parallèles fut envisagé dans la même perspective : le postulat n'est pas une évidence première, mais une vérité qu'on doit pouvoir démontrer. La plupart des démonstrations se fondent sur la définition de la parallèle comme...

• GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 8 269 mots
  • 3 médias
  Soit Φ une forme bilinéaire symétrique de signature (n − 1, 1) sur E, et soit F la partie de l'espace projectif P(E) correspondant aux vecteurs x ∈ E tels que Φ(x, x) < 0 ; il résulte de la loi d'inertie que le groupe O(Φ) opère transitivement sur F, et y définit...

• LOBATCHEVSKI NIKOLAÏ IVANOVITCH (1792-1856)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 331 mots

  Mathématicien russe né à Nijni-Novgorod et mort à Kazan. Nikolaï I. Lobatchevski étudia à l'université de Kazan, où il enseigna à partir de 1812 et occupa la chaire de mathématiques pures de 1822 à 1846.

  Sous l'influence de Carl F. Gauss et du marquis de Laplace, ses premiers travaux...

• RÉALITÉ CONCEPT DE

  • Écrit par Jean HAMBURGER
  • 4 351 mots
  ...nous vivons que nul ne la mettait en doute. On avait presque oublié qu'elle était fille de quelques postulats de départ, intuitifs et non démontrables. Le jour vint où quelques mathématiciens de génie s'avisèrent qu'on pouvait tout aussi bien construire d'autres géométries sur d'autres postulats. Et ces...

• VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par Claude MORLET
  • 9 807 mots
  • 7 médias
  Les géométries non euclidiennes sont l'un des exemples les plus classiques et les plus importants de variétés riemanniennes. Rappelons la construction des géométries de dimension 2 en donnant quelques exemples.