3. La géométrie projective
Au sens moderne du terme, on entend par géométrie projective l'étude des propriétés des figures qui se conservent par transformation homographique. Ce point de vue général ne s'est dégagé que lentement, par élargissement de conceptions plus particulières et par une clarification qui a eu notamment à distinguer les propriétés projectives des figures de leurs propriétés métriques. La géométrie projective a joué un rôle majeur dans l'évolution de la conception de la géométrie. Elle fut le principal facteur du mouvement d'idées qui, au cours du xixe siècle, a progressivement rapproché les diverses géométries et a donné à la notion de transformation une place centrale dans la géométrie.
• Le rapport anharmonique chez les Grecs
Dans les mathématiques grecques, on ne rencontre pas à proprement parler de géométrie projective, essentiellement parce que la notion de transformation des figures n'y apparaît pas, même pas la projection centrale que semble suggérer pourtant très naturellement la considération des cônes et de leurs intersections par des plans qui engendrent les coniques. En revanche, on trouve des notions et des théorèmes qu'on rattache maintenant à la géométrie projective. Principalement, la définition du rapport anharmonique, dit aujourd'hui birapport, de quatre points alignés A, B, C, D, soit :
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