GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

8.  Propriétés globales liées à la courbure totale

Soit γ : I → S un arc paramétré d'une surface S. Si X = X(t) est un champ de vecteurs le long de la courbe C = γ(I), on définit la dérivée covariante DX/dt du champ X au point M = γ(t) en projetant le vecteur dX/dt sur le plan tangent T_MS parallèlement à la normale. On dit alors que le champ X se déplace par parallélisme, ou est parallèle, si pour tout t ∈ I la dérivée covariante est nulle. Remarquons que la valeur X(t₀) du champ en un point détermine alors le champ parallèle. En particulier, on dit qu'un arc paramétré est géodésique si sa vitesse se déplace par parallélisme ; une courbe géodésique devient un arc géodésique si on prend pour paramètre l'abscisse curviligne s ou tout autre paramètre t = as + b, a et b constants avec a ≠ 0.

Si la courbure totale n'est pas nulle, le transport par parallélisme le long d'un lacet (c'est-à-dire un arc paramétré γ : [a, b] → S tel que γ(a) = γ(b) ne ramène pas en général le vecteur X(a) à sa position initiale et, par suite, si on considère deux points M et M′, le transport par parallélisme de M à M′ dépend du chemin choisi. En effet, on démontre que la « variation de l'angle » du vecteur X par transport parallèle le long d'un lacet est l'intégrale :

où Σ est la partie de S limitée par le lacet et dσ l'élément d'aire sur S.

D'autre part, on montre que si le lacet γ se compose d'un nombre fini d'arcs différentiables γ_k séparés par des points anguleux où l'angle du vecteur tangent à γ subit une discontinuité θ_i, on a :

formule de Gauss-Bonnet. Dans le cas particulier où γ est un triangle géodésique, c'est-à-dire un triangle curviligne dont les côtés sont des arcs géodésiques, l'intégr […]