GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

7.  Courbes tracées sur une surface

Soit C une courbe régulière orientée tracée sur une surface régulière S ; à tout point M de C on va attacher un repère, appelé trièdre de Darboux, obtenu de la manière suivante : soit t, n, b le trièdre de Frénet de la courbe C au point M ; le trièdre de Darboux e₁, e₂, e₃ s'obtient en prenant pour e₃ le vecteur unitaire normal en M à la surface associé à l'orientation de cette surface, et en prenant e₁ = t (et e₂ = e₃ ∧ e₁ pour obtenir un trièdre direct). Si s est l'abscisse curviligne sur C, on a alors les formules :

les nombres 1/ρ_g, 1/ρ_n et 1/τ_g ainsi définis s'appellent respectivement la courbure géodésique, la courbure normale et la torsion géodésique en M. Si ρ et τ sont la courbure et la torsion de C en M, on a, en désignant par θ l'angle des deux vecteurs n et e₃ :

La courbure normale 1/ρ_n en M est la même pour toutes les courbes tracées sur S qui admettent la même tangente en ce point M ; en effet, 1/ρ_n = e₃. (d²M/ds²), ce qui entraîne que cette courbure normale est égale à ψ(e₁), en désignant par ψ la deuxième forme fondamentale. On en déduit le théorème de Meusnier : Si un plan P pivote autour d'une droite du plan tangent T_MS, alors le centre de courbure (en M) de la section de S par P décrit un cercle passant par le point M. Un point d'une surface S pour lequel la courbure normale est la même dans toutes les directions est appelé un ombilic.

Une courbe tracée sur S est appelée une ligne asymptotique si la courbure norma […]