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GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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6.  Formes fondamentales sur une surface

On appelle première forme fondamentale sur une surface S la forme quadratique Φ qui, à tout vecteur V tangent à S en M, associe le carré de sa longueur, soit :

Si au voisinage de M la surface S admet pour représentation paramétrique (u, v) ↦ ϕ (u, v), on écrit :

et on a :
en posant :
justifions ces notations. Si γ est un arc paramétré, dont le vecteur vitesse en M est égal à V, qui se factorise sous la forme γ = ϕ ∘ f (avec les notations du chapitre précédent), alors on a :
et par suite :

Définissons maintenant la deuxième forme fondamentale ; il sera pour cela nécessaire d'orienter la surface. Si la représentation paramétrique ϕ : U → S, U ⊂ R2 est régulière en tout point M de ϕ(U), le produit vectoriel :

où m = ϕ-1(M) ∈ U, est non nul ; on peut donc associer à chaque point M de ϕ(U) un vecteur unitaire n normal à S de même sens que le produit vectoriel précédent, c'est-à-dire on oriente la surface. Si un arc paramétré :

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Autres références

« GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE » est également traité dans :

ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Géométrie différentielle"  : …  Une *des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviiie siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface dans l'espace (autrement dit,… Lire la suite

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Trèfle à quatre feuilles Cycloïde Position d'une courbe par rapport à sa tangente Points de rebroussement Cycloïde Trièdre de Frénet Trèfle à quatre feuilles Changement de paramètre pour une surface Position d'un surface par rapport à un plan tangent Intersection du tore avec son plan tangent Position d'un surface par rapport à un plan tangent Points plats Position d'un surface par rapport à un plan tangent Intersection du tore avec son plan tangent Surfaces sphériques de révolution Surfaces pseudosphériques de révolution Surfaces associées à des lignes de courbure

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