4. Courbes régulières
Nous sommes enfin capables de donner une définition correcte de la notion de courbe régulière.
Par définition, une courbe régulière C, de classe Ck, de l'espace euclidien E3 ou E2 est un sous-ensemble qui possède la propriété suivante : Tout point x ∈ C est centre d'une boule ouverte B (resp. d'un disque ouvert B) telle qu'il existe un arc paramétré f : I → E3 (ou E2), de classe Ck, tel que f′(t) ≠ 0 pour tout t ∈ I, qui soit un homéomorphisme de I sur C ∩ B. Ainsi C est une réunion de trajectoires d'arc paramétrés sans points singuliers. Si (fi, Ii) et (fj, Ij) sont deux représentations paramétriques telles que Iij = fi(Ii) ∩ fj(Ij) ne soit pas vide, alors, fj-1∘fi, défini dans fi-1(Iij), est un changement de paramètre admissible. Ce qui précède sur les arcs paramétrés montre qu'on peut définir la tangente en chaque point ainsi que, quand le plan osculateur est défini, le trièdre de Frénet. Remarquons qu'une courbe aussi simple que la cycloïde ne rentre cependant pas dans ce cadre, car elle présente des points singuliers.
Le théorème des fonctions implicites entraîne que si F est une fonction numérique sur E2, différentiable de dérivée ne s'annulant pas sur F-1(a) pour un nombre réel a, l'ensemble F-1(a) est une courbe régulière ; de même, dans E3, si deux fonctions F1 et F2 sont indépendantes, l'ensemble défini par F1 = constante et F2 = constante est une courbe régulière. Par exemple, dans le plan, l'équation :
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