8. Groupes algébriques
On appelle groupe algébrique une variété algébrique G munie d'un morphisme m : G × G → G tel que pour toute variété algébrique T, l'application (u, v) ↦ m ∘ (u, v) soit une loi de groupe sur l'ensemble G(T) des morphismes de T dans G ; si T est une variété affine, d'algèbre A, on écrit souvent G(A) au lieu de G(T) ; par exemple si T est la variété réduite à un point avec l'algèbre k, G(T) = G(k) s'identifie à l'ensemble des points de G (cf. chap. 2), et on voit que m définit sur cet ensemble une structure de groupe. La théorie des groupes algébriques est assez analogue à celle des groupes de Lie, mais ses méthodes sont différentes.
Comme premiers exemples de groupes algébriques, citons le groupe additif Ga, c'est-à-dire la droite affine (k, k[t]) munie de l'addition comme loi, et le groupe multiplicatif Gm, c'est-à-dire la variété affine (k − {0}, k [t, 1/t]) munie de la multiplication ; on démontre que tout groupe algébrique affine de dimension 1 qui est connexe et réduit est isomorphe à Ga ou à Gm. L'ensemble GL(n,k) des matrices carrées inversibles d'ordre n est un ouvert affine dans M(n, k) ⊂ Kn×n, défini par det (uij) ≠ 0 ; la multiplication des matrices en fait un groupe algébrique affine. Tout groupe algébrique affine s'identifie à un sous-groupe fermé d'un GL(n, k) ; les groupes classiques sont des exemples de groupes algébriques (cf. groupes - Groupes classiques et géométrie).
On peut également définir la notion d'opérations algébriques d'un groupe algébrique sur une variété algébrique. La théorie des groupes algébriques affines, édifiée par A. Borel, repose sur le théorème suivant :
Considérons un groupe algébrique affine G résoluble et connexe, qui opère sur une variété complète X. Il existe un point de X invariant par les opération […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 18 pages…
