7. Intersections
• Définitions
Soit Y un fermé irréductible d'une variété algébrique X. La codimension de Y dans X est définie comme la borne supérieure des entiers n tels qu'il existe une suite strictement croissante (F0, F1, ..., Fn) de fermés irréductibles de X avec F0 = Y ; si X est irréductible :
Supposons maintenant que X est une variété sans point singulier, et considérons des fermés irréductibles Y et Z de X ; si W est une composante irréductible de Y ∩ Z, on a l'inégalité suivante :
(par exemple, dans l'intersection de deux hypersurfaces, toutes les composantes irréductibles sont de codimension au plus 2). On dit que Y et Z se coupent
proprement en W dans le cas où il y a égalité :
(formule des dimensions) ; on peut alors définir un entier
mw appelé
multiplicité de W dans l'intersection de Y et Z (cf.
courbes algébriques, pour le cas où Y et Z sont des courbes). Si Y et Z se coupent proprement en toutes les composantes irréductibles de Y ∩ Z, on dit que l'intersection de Y et Z est propre, et on peut définir un « cycle » intersection :
(somme étendue aux composantes irréductibles de Y ∩ Z). D'une manière générale, nous appellerons
cycle de codimension
m une combinaison linéaire formelle à coefficients entiers de fermés irréductibles de codimension
m, et nous désignerons par Z
m(X) le groupe additif des cycles de codimension
m.
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