5. Morphismes finis. Normalisation et désingularisation
On dit qu'un morphisme f = (u, v) : X → Y de variétés algébriques affines est fini si vY : B → A fait de A une B-algèbre finie (A désigne l'algèbre de X et B celle de Y). Plus généralement, un morphisme f : X → Y entre des variétés algébriques quelconques est dit fini s'il existe un recouvrement de Y par des ouverts affines Ui tels que les ouverts f-1(Ui) de X soient affines et que les restrictions :
Soit f : X → Y un morphisme de variétés algébriques tel que pour tout point y de Y la fibre f -1(y) soit finie et discrète. En général f n'est pas fini, mais, si on le suppose séparé (cela signifie que ΔX = {(x, x) | x ∈ X} est fermé dans le « produit fibré » X × YX ; c'est toujours vrai si X est séparé), on peut montrer qu'il existe une variété algébrique X′ dans laquelle X se plonge comme sous-variété ouverte de manière que f se prolonge en un morphisme fini de X′ dans Y. Ce résultat, profond et difficile, est connu sous le nom de théorème principal de Zariski.
Un point x d'une variété algébrique X est dit normal si l'anneau local OX,x est intègre et intégralement clos. Sur le corps des complexes, cela revient à dire que x est un point normal de Xan, c'est-à-dire que to […]
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