4. Propriétés élémentaires
Tout ouvert U d'une variété algébrique X, muni de la structure annelée induite, est une variété algébrique ; on dit que c'est une sous-variété ouverte de X.
Considérons un faisceau d'idéaux J de OX (c'est-à-dire un faisceau tel que J(U) soit un idéal de OX(U) pour tout ouvert U, les opérations de restriction de J étant induites par celles de OX) ; on peut définir un faisceau quotient OX/J, dont la fibre en un point x quelconque de X est OX,x/Jx. Si J est « localement de type fini », le support Y de ce faisceau quotient, c'est-à-dire l'ensemble des points x où sa fibre n'est pas nulle, est une partie fermée de X. On peut considérer OX/J comme un faisceau sur Y, et Y muni de ce faisceau est une variété algébrique ; on dit que c'est une sous-variété fermée de X. Par exemple, les variétés algébriques affines (resp. projectives) peuvent être considérées comme des sous-variétés fermées d'un espace kn (resp. Pn(k)).
Si Y est un fermé quelconque de X, le faisceau d'idéaux JY formé des f qui s'annulent sur Y est localement de type fini et OX/JY a pour support Y, d'où sur Y une structure de sous-variété fermée de X. Ce n'est pas la seule possible, mais on peut la caractériser par le fait qu'elle est réduite, c'est-à-dire que son faisceau structural ne comporte pas d'éléments nilpotents non nuls (il s'interprète comme un faisceau de fonctions sur Y). En particulier, si Y = X, on définit une sous-variété fermée Xred de X qui est réduite et a même espace topologique sous-jacent que X.
Sur l'ensemble produit X × Y de deux variétés algébriques, o […]
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