2. Variétés algébriques affines
À tout ensemble algébrique affine X ⊂ km, nous avons associé la k-algèbre A(X) des fonctions régulières sur X ; elle est isomorphe (d'une manière canonique) au quotient k[T1, T2, ..., Tm]/I(X) où I(X) désigne l'idéal formé des polynômes qui s'annulent sur X. Si une application u : X → Y d'un ensemble algébrique dans un autre est régulière, f ∘ u appartient à A(X) pour toute fonction f de A(Y). Inversement, cette condition implique que u est régulière ; remplaçons en effet f par les fonctions coordonnées y1, y2, ..., yn de Y : nous obtenons des fonctions ui = yi ∘ u (i = 1, 2, ..., n) régulières sur X, c'est-à-dire induites par des polynômes en les coordonnées de X.
On voit même que tout homomorphisme ϕ de A(Y) dans A(X) détermine une application régulière u de X dans Y telle que ϕ soit l'application f ↦ f ∘ u ; les coordonnées de u sont les fonctions ϕ(y1), ϕ(y2), ..., ϕ(yn) de A(X). Considérons, en particulier, le cas où X = {e} est réduit à un point ; c'est l'espace affine k0 et son algèbre de fonctions régulières se réduit aux constantes A(X) = k. La donnée d'une application (régulière automatiquement) u : X = {e} → Y, c'est-à-dire d'un point y = u(e) de Y, équivaut donc à celle de l'homomorphisme f ↦ f ∘ u = f(y) de A(Y) dans k ; d'où une bijection de l'ensemble Y sur l'ensemble Homk (A(Y), k) des homomorphismes de A(Y) dans k.
Tout isomorphisme A(Y) → A(X), où X et Y sont des ensembles algébriques affines, détermine un isomorphisme de X sur Y. Cela nous met sur la voie d'une définition intrinsèque des ensembles algébriques affines, indépendamment du plongement dans un espace kn : la structure d'ensemble algébrique est définie par la donnée de […]
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