1. Ensembles algébriques
Soit k un corps de base algébriquement clos. Pour tout entier naturel n, l'espace affine kn est l'ensemble des suites (x1, x2, ..., xn) de n éléments de k ; on appelle ces n éléments les coordonnées du point x = (x1, x2, ..., xn) de kn. L'espace projectif Pn(k) est le quotient de kn+1 − {O}, complémentaire de l'origine O = (0, 0, ..., 0), par la relation d'équivalence qui identifie (x0, x1, ..., xn) à toute suite proportionnelle (tx0, tx1, ..., txn) (t élément non nul de k) ; on voit que les points Pn(k) sont les droites passant par O dans kn + 1, privées de O. Si un élément (x0, x1 ..., xn) de kn + 1 représente un point x de Pn(k), on dit que les coordonnées x0, x1, ..., xn de cet élément sont des coordonnées homogènes de x ; elles ne sont pas toutes nulles et sont définies à un facteur de proportionnalité près.
Une partie X de kn est un ensemble algébrique affine si c'est l'ensemble des zéros communs à des polynômes f1, f2, ..., fs par rapport aux coordonnées ; on dit que X est défini par les équations :
Un ensemble algébrique projectif dans Pn(k) est défini d'une manière analogue par des équations polynomiales homogènes par rapport aux coordonnées homogènes.
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