GÉNÉRATEUR, mathématique

Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à a. Par définition d'un produit portant sur zéro facteur, cet ensemble doit contenir un élément neutre e pour ∗ (c'est-à-dire tel que x ∗ e = e ∗ x = x pour tout x de E), et ce produit a⁰ est égal à e. Naturellement, E contient a et toutes ses puissances : a = a¹, a², a³,... aⁿ et ainsi de suite ; dire que E est monogène pour ∗, ou que a est un générateur pour E, revient exactement à dire que, réciproquement, E est l'ensemble des puissances de a, ou est engendré par a.

L'exemple le plus simple est celui de l'ensemble ℕ des entiers naturels, muni de l'addition : ici l'élément neutre est le nombre 0, et le nombre 1 est un générateur puisque tout n est la somme 1 + 1 +... + 1 de n entiers égaux à 1. C'est le seul générateur possible pour ℕ.

L'existence d'un générateur pour un ensemble E muni d'une loi ∗ est rare, mais, s'il existe, ce générateur n'est pas nécessairement unique. Soit en effet pour E l'ensemble des trois rotations planes r, s et t d'angles de mesures 0, 120 et 240 degrés, muni de la loi de composition des applications ∘. L'élément neutre est r, application identique du plan, et chacune des deux autres engendre E, car r = s⁰ = t⁰, s = s¹ = t² et t = t¹ = s².

La définition ci-dessus peut s'étendre au cas de l'existence d'un exemple fini {a, b, c,...} de générateurs. L'exemple du groupe (ℤ, +) suffira pour indiquer le sens de cette généralisation. Un seul générateur ne saurait suffire, puisque des sommes de termes égaux à un nombre a ont même signe que a. Ainsi 1 n'engendre-t-il que le sous-ensemble strict ℕ de ℤ. Il faut donc admettre au moins un autre générateur, qui sera évidemment –1 qui engendre les entiers négatifs. Dans ce cas particulier, dire que {1, – 1} engendre (ℤ, +) signifie que tout élément de ℤ est une somme finie de termes égaux, soit à 1, soit à –  1. D'une manière plus générale, di […]