3. Le style et l'influence de Monge
Si Monge juge la géométrie descriptive utile pour les arts de la construction, il souligne surtout son intérêt pédagogique. En dessinant des épures, l'élève apprend à peupler l'espace par des figures, il forme et exerce son intuition géométrique. Or, pour Monge, c'est la capacité à imaginer qui est la source de l'invention mathématique. Ses méthodes sont diverses, descriptives ou analytiques, mais toujours apparaît la volonté de « faire voir » les objets étudiés et les raisonnements utilisés.
Qu'on n'imagine pas cependant Monge utilisant des figures dans la géométrie. C'est sur une représentation mentale des formes de l'étendue comprises dans toute leur généralité qu'il travaille. « Personne plus que Monge n'a conçu et n'a fait de la géométrie sans figures », écrit Michel Chasles, pour qui « Monge savait à un degré inouï faire concevoir dans l'espace toutes les formes les plus compliquées de l'étendue, et pénétrer dans leurs relations générales et leurs propriétés les plus cachées, sans autre secours que celui de ses mains, dont le mouvement secondait admirablement sa parole, quelquefois difficile, mais toujours douée de la véritable éloquence du sujet : la netteté et la précision, la richesse et la profondeur d'idées ».
Beaucoup de jeunes mathématiciens du début du xixe siècle, lassés par la sécheresse du style analytique en l'honneur à la fin du siècle précédent, adoptent avec enthousiasme cette manière si expressive de faire des mathématiques. Si quelques-uns, comme Charles Dupin, prolongent les travaux géométrico-analytiques de Monge, d'autres, comme Brianchon, Chasles et surtout Poncelet, prétendent obtenir avec la seule géométrie des résultats aussi puissants qu'avec l'analyse. C'est dans l'enseignement oral de Monge qu'ils puisent leur inspiration, et dans quelques passages de la Géométrie descriptive, comme celui dans lequel, par un raisonnement de pure géométrie, Monge montre la loi de réciprocité entre pôle et polaire (par rapport à une conique) pour une configuration particulière. Mais alors que, pour Monge, la géométrie et l'analyse se soutiennent mutuellement, la première apportant l'évidence et la seconde la généralité, ses jeunes disciples souhaitent se passer entièrement de l'analyse. Un tel projet montrera sa fécondité dans la période suivante, en donnant naissance à la géométrie projective réelle et complexe.
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