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RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

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6.  Fonctions analytiques, harmoniques et sous-harmoniques

Les démonstrations que Frédéric Riesz et Leopold Fejér ont données du théorème fondamental de représentation conforme, et leur lemme indiquant que tout polynôme trigonométrique p(eit) ≥ 0 peut être écrit sous la forme |q(eit)|2 (où q est aussi un polynôme trigonométrique), sont peut-être les résultats les plus connus de la collaboration de ces deux savants. D'autre part, un célèbre mémoire commun des frères Riesz (1916) étend un théorème de P. Fatou (1906) aux fonctions holomorphes et bornées dans un domaine quelconque limité par une courbe rectifiable ; ils y montrent, entre autres, que toute fonction complexe v à variation bornée telle que :

pour n = 1, 2, ..., est absolument continue.

En analysant certains théorèmes de Hardy (1915), Riesz a reconnu que leur vraie raison ressort de ce que, pour f (z) holomorphe, la fonction :

est sous-harmonique. Cela veut dire que toute fonction harmonique h qui majore g sur la frontière d'un domaine la majore aussi à l'intérieur. Cette notion s'étend à un nombre quelconque de variables. Riesz a été l'initiateur d'une étude approfondie de telles fonctions et a démontré en particulier leurs liens avec le potentiel de masses positives, résultat qui a ouvert une nouvelle voie aux recherches sur la théorie du potentiel (cf. théorie du potentiel, ).

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