5. L'intégrale de Lebesgue
L'introduction de l'intégrale de Lebesgue fut une grande innovation de l'analyse au début du xxe siècle et a été d'abord accueillie avec une certaine réserve de la part de beaucoup de mathématiciens. Riesz en a immédiatement reconnu l'importance, et le théorème de Riesz-Fischer fut l'une des premières preuves de l'utilité des nouvelles notions. Par la suite, il s'est efforcé de rendre cette théorie plus accessible, par exemple en construisant l'intégrale de Lebesgue sans se référer à la théorie de la mesure. Sa démonstration directe de la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est d'une simplicité remarquable. D'ailleurs, le lemme élémentaire qu'il a établi et utilisé dans cette démonstration a trouvé plus tard d'autres applications, par exemple dans son important mémoire sur le théorème ergodique de G. D. Birkhoff et ses généralisations.
On doit encore à Riesz une démonstration simple du théorème ergodique de von Neumann, qui s'applique non seulement aux opérateurs unitaires, mais aussi aux opérateurs T contractifs (∥T∥ ≤ 1) des espaces Lp, pour 1 ≤ p < ∞.
[…]… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 2 pages…
