4. Espaces vectoriels partiellement ordonnés
Grâce à la représentation (1), la considération des fonctions v à variation bornée permet d'étudier les fonctionnelles sur l'espace C([a, b]). À la décomposition de v en différence de deux fonctions croissantes correspond une décomposition A = P1 − P2 en fonctionnelles positives (Pix ≥ 0 pour x ≥ 0). À la décomposition canonique de v en somme de ses parties, absolument continue, singulière continue et fonction de sauts (cf. calcul des probabilités, chap. 2), correspond une décomposition de A qui a été étudiée sur cette base par Fréchet. Dans sa conférence au Congrès de Bologne (1928), Riesz a caractérisé ces décompositions d'une manière directe, sans faire appel à la représentation (1). En introduisant la notion de fonctionnelle linéaire majorante, il s'appuie sur le fait que tout ensemble majoré de fonctionnelles linéaires admet une plus petite majorante. Sa méthode s'applique aussi dans des hypothèses beaucoup plus générales. Ses idées sont à l'origine d'un grand nombre de recherches sur les espaces vectoriels partiellement ordonnés, appelés aussi de nos jours espaces de Riesz.
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