3. Espaces fonctionnels
David Hilbert (cf. espace de hilbert) avait montré que l'espace l2 des suites numériques c = (c1, c2, ...) de carré sommable, muni de la norme :
et de la distance :
est un espace vectoriel métrique complet (c'est-à-dire vérifiant la condition de Cauchy pour la convergence). Frédéric Riesz et Ernst Fischer ont démontré, en 1907, indépendamment l'un de l'autre, que l'espace L
2([
a,
b]) des classes de fonctions
x mesurables et de carré sommable au sens de Lebesgue sur [
a,
b] jouit de propriétés analogues si l'on y définit la norme de
x par :
en ne distinguant pas deux fonctions qui coïncident presque partout ; de plus, chaque système orthonormal complet {ϕ
k} dans L
2 engendre une isomorphie isométrique
x ↦
c = (
ck) entre L
2 et
l2, où :
ce théorème est d'une importance capitale dans diverses branches des mathématiques et de la physique mathématique.
On doit à F. Riesz l'introduction des espaces lp des suites de nombres complexes de puissance p-ième sommable, des espaces Lp des classes de fonctions de puissance p-ième intégrable, 1 ≤ p ≤ ∞, ainsi que des espaces C de fonctions continues ; les propriétés fondamentales, qu'il a découvertes, des fonctionnelles linéaires sur ces espaces ont servi de fondement à une série de notions (espace vectoriel normé complet, fonctionnel […]
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