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QUADRATIQUES FORMES

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux dérivées partielles ou intégrales). Elle est étroitement liée au concept de dualité. Enfin, l'étude arithmétique des formes quadratiques a été le point de départ de la théorie des nombres algébriques et a eu d'importantes répercussions sur la théorie des fonctions automorphes.

Généralités

En algèbre classique, on appelle « forme n-aire de degré r » un polynôme homogène de degré r par rapport à n variables ; pour r = 1, on dit « forme linéaire » et, pour r = 2, on dit « forme quadratique ». Dans la mathématique actuelle, on généralise la notion de forme quadratique comme on a généralisé celle de forme linéaire (cf. algèbre linéaire) : étant donné un anneau commutatif A et un A-module M, on considère les applications Q de M dans A qui vérifient une relation de la forme :

quels que soient x et y dans M, λ et μ dans A. En donnant à λ et μ les valeurs 0 ou 1, on voit aussitôt que :
et :
en  exprimant  de  plusieurs  manières Q(x + y + z), pour x, y et z dans M, on voit sans peine que l'expression :
est symétrique en x, y et z et que l'on a par suite :
d'autre part, on a :
donc D(x, y, z) = 0 lorsque A est sans diviseur de zéro et contient au moins trois éléments. Pour un anneau commutatif A quelconque, on dit que Q est une forme quadratique sur M si D(x, y, z) = 0 quels que soient x, y et z dans M, c'est-à-dire si B est une forme bilinéaire (nécessairement symétrique). On dit que cette forme bilinéaire est associée à la forme quadratique Q. Si, dans l'anneau A, l'équation 2ξ = α a une solution unique pour tout α ∈ A, toute forme bilinéaire symétrique B sur M × M détermine inversement une forme quadratique Q à laquelle elle est associée, puisque :

La définition précédente montre par récurrence que, si a1, ..., am sont des éléments de M et si ξ1, ..., ξm sont des scalaires de A, on a :

où αij = B(ai, aj) pour i ≠ j et αii = Q(ai), donc B(ai, ai) = 2 αii. En particulier, si les aj forment une base de M, on retrouve la définition classique des formes quadratiques.

Exemples

Si l'on a été amené à donner une définition aussi générale, c'est parce que l'on rencontre naturellement des formes quadratiques de types très variés dans les applications. L'exemple le plus connu de forme quadratique est le « carré scalaire », dont l'étude est exactement la géométrie euclidienne. Deux des parties les plus importantes des mathématiques contemporaines, la géométrie riemannienne et la théorie des espaces de Hilbert, sont des extensions de cette étude dans deux directions : la forme quadratique est « infinitésimale » en géométrie riemannienne, et l'espace où elle est définie est de dimension infinie dans la théorie hilbertienne.

Dans tous ces cas, la forme est « positive non dégénérée » (cf. infra, chap. 2). Mais les formes non dégénérées non positives n'ont pas moins d'importance : leur théorie (pour les espaces de dimension finie) a deux « traductions » classiques : la théorie des coniques, des quadriques et de leurs généralisations aux dimensions supérieures, et d'autre part les géométries « non euclidiennes » (cf. groupes [mathématiques] - Groupes classiques et géométrie, quadriques) ; l'aspect « infinitésimal » de cette théorie est la théorie des espaces pseudo-riemanniens, qui est à la base de la théorie de la relativité. Les formes quadratiques à coefficients complexes correspondent[...]

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Autres références

  • ALGÉBRIQUES STRUCTURES

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 29 463 mots
    ...∗} (respectivement si H ⊂ Hϕ⊥). Un sous-K-espace vectoriel de VE totalement ϕ-isotrope est soit ϕ-isotrope soit le sous-K-espace vectoriel nul de VE.À toute forme KVE-bilinéaire ϕ peut être associée une forme KVE-quadratique Φ, application de E dans K définie par :

  • CONIQUES

    • Écrit par Universalis, André WARUSFEL
    • 5 070 mots
    • 14 médias

    L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iiie siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très...

  • EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

    • Écrit par Jeanne PEIFFER
    • 885 mots

    Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien...

  • GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

    • Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
    • 4 886 mots
    ...bien plutôt que d'un calcul sur les entiers eux-mêmes (Disquisitiones arithmeticae, art. 26 et 31). Dans la théorie de la composition des classes de formes quadratiques, qui lui est entièrement due, il est beaucoup plus net encore ; Lagrange avait défini une relation d'équivalence entre formes quadratiques...
  • Afficher les 14 références

Voir aussi

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